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名古屋大学 1993年理系第3問解説

方針・初手

(1) は絶対値付きの定積分であるため、積分区間内で被積分関数の符号が変わる点で積分を分割する。積分結果は $a$ の関数 $S_n(a)$ となるので、これを $a$ で微分して最小値を求める。

(2) は (1) で求めた $a_n$ を $S_n(a)$ に代入して $n S_n(a_n)$ の式を作り、$n \to \infty$ の極限を計算する。

解法1

(1)

$0 \le x \le 1$ において $x \ge 0$ であるから、 $$|x^{n+1} - ax| = |x(x^n - a)| = x|x^n - a|$$ となる。

$x^n - a = 0$ とすると、$x = a^{\frac{1}{n}}$ である。

$0 < a < 1$ であり、$n$ は自然数であるから、$0 < a^{\frac{1}{n}} < 1$ である。

$c = a^{\frac{1}{n}}$ とおくと、$c^n = a$ であり、積分区間を $0 \le x \le c$ と $c \le x \le 1$ に分けることができる。

$0 \le x \le c$ のとき、$x^n \le c^n = a$ より $x^n - a \le 0$ であるから、 $$x|x^n - a| = x(a - x^n) = ax - x^{n+1}$$

$c \le x \le 1$ のとき、$x^n \ge c^n = a$ より $x^n - a \ge 0$ であるから、 $$x|x^n - a| = x(x^n - a) = x^{n+1} - ax$$

したがって、$S_n(a)$ は次のように計算できる。 $$S_n(a) = \int_0^c (ax - x^{n+1}) dx + \int_c^1 (x^{n+1} - ax) dx$$

それぞれの積分を計算する。 $$\int_0^c (ax - x^{n+1}) dx = \left[ \frac{a}{2}x^2 - \frac{1}{n+2}x^{n+2} \right]_0^c = \frac{a}{2}c^2 - \frac{1}{n+2}c^{n+2}$$

ここで、$c^{n+2} = c^n \cdot c^2 = a c^2$ を用いると、 $$\frac{a}{2}c^2 - \frac{1}{n+2}a c^2 = a c^2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{n+2} \right) = \frac{n}{2(n+2)} a c^2$$

$c^2 = a^{\frac{2}{n}}$ であるから、 $$\int_0^c (ax - x^{n+1}) dx = \frac{n}{2(n+2)} a^{1 + \frac{2}{n}}$$

後半の積分は、 $$\int_c^1 (x^{n+1} - ax) dx = \left[ \frac{1}{n+2}x^{n+2} - \frac{a}{2}x^2 \right]_c^1$$

$$= \left( \frac{1}{n+2} - \frac{a}{2} \right) - \left( \frac{1}{n+2}c^{n+2} - \frac{a}{2}c^2 \right)$$

ここで、先ほどの計算から $\left( \frac{a}{2}c^2 - \frac{1}{n+2}c^{n+2} \right) = \frac{n}{2(n+2)} a^{1 + \frac{2}{n}}$ であることを用いると、 $$\int_c^1 (x^{n+1} - ax) dx = \frac{1}{n+2} - \frac{a}{2} + \frac{n}{2(n+2)} a^{1 + \frac{2}{n}}$$

よって、$S_n(a)$ は、 $$S_n(a) = \frac{n}{2(n+2)} a^{1 + \frac{2}{n}} + \frac{1}{n+2} - \frac{a}{2} + \frac{n}{2(n+2)} a^{1 + \frac{2}{n}}$$

$$S_n(a) = \frac{n}{n+2} a^{1 + \frac{2}{n}} - \frac{1}{2} a + \frac{1}{n+2}$$

$S_n(a)$ を $a$ で微分すると、 $$S_n'(a) = \frac{n}{n+2} \left( 1 + \frac{2}{n} \right) a^{\frac{2}{n}} - \frac{1}{2}$$

$$S_n'(a) = \frac{n}{n+2} \cdot \frac{n+2}{n} a^{\frac{2}{n}} - \frac{1}{2} = a^{\frac{2}{n}} - \frac{1}{2}$$

$S_n'(a) = 0$ とすると、$a^{\frac{2}{n}} = \frac{1}{2}$ より、 $$a = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{n}{2}} = 2^{-\frac{n}{2}}$$

$n$ は自然数であるから、$0 < 2^{-\frac{n}{2}} < 1$ となり、$0 < a < 1$ を満たす。

$0 < a < 1$ における $S_n(a)$ の増減表は以下のようになる。

$a$	$(0)$	$\cdots$	$2^{-\frac{n}{2}}$	$\cdots$	$(1)$
$S_n'(a)$		$-$	$0$	$+$
$S_n(a)$		$\searrow$	極小かつ最小	$\nearrow$

したがって、$S_n(a)$ は $a = 2^{-\frac{n}{2}}$ のとき最小となる。ゆえに、$a_n = 2^{-\frac{n}{2}}$ である。

(2)

(1) より $a_n = 2^{-\frac{n}{2}}$ であるから、これを $S_n(a_n)$ に代入する。 $$S_n(a_n) = \frac{n}{n+2} a_n^{1 + \frac{2}{n}} - \frac{1}{2} a_n + \frac{1}{n+2}$$

ここで、 $$a_n^{1 + \frac{2}{n}} = \left( 2^{-\frac{n}{2}} \right)^{1 + \frac{2}{n}} = \left( 2^{-\frac{n}{2}} \right)^{\frac{n+2}{n}} = 2^{-\frac{n}{2} \cdot \frac{n+2}{n}} = 2^{-\frac{n+2}{2}} = 2^{-\frac{n}{2} - 1} = \frac{1}{2} \cdot 2^{-\frac{n}{2}} = \frac{1}{2} a_n$$ である。

これを代入して整理すると、 $$S_n(a_n) = \frac{n}{n+2} \cdot \frac{1}{2} a_n - \frac{1}{2} a_n + \frac{1}{n+2}$$

$$= \frac{1}{2} a_n \left( \frac{n}{n+2} - 1 \right) + \frac{1}{n+2}$$

$$= \frac{1}{2} a_n \left( \frac{-2}{n+2} \right) + \frac{1}{n+2}$$

$$= \frac{1}{n+2} (1 - a_n)$$

$a_n = 2^{-\frac{n}{2}}$ であるから、 $$S_n(a_n) = \frac{1}{n+2} \left( 1 - 2^{-\frac{n}{2}} \right)$$

よって、求める極限は、 $$\lim_{n \to \infty} n S_n(a_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+2} \left( 1 - 2^{-\frac{n}{2}} \right)$$

ここで、 $$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{2}{n}} = 1$$

および $$\lim_{n \to \infty} 2^{-\frac{n}{2}} = 0$$ であるから、 $$\lim_{n \to \infty} n S_n(a_n) = 1 \cdot (1 - 0) = 1$$

解説

絶対値を含む定積分は、被積分関数の符号が変わる点で積分区間を分割して外すのが基本である。本問では $x^n - a = 0$ となる $x = a^{\frac{1}{n}}$ が分割点となる。 $S_n(a)$ を求める際、$c = a^{\frac{1}{n}}$ とおいて計算を進め、最後に $c$ を消去すると見通しよく計算できる。また、$S_n(a)$ の導関数 $S_n'(a)$ が非常にシンプルな形になり、微分の正しさを確認しやすい構成となっている。 (2) は $a_n$ を代入した後の式変形において、指数法則を正しく用いて $S_n(a_n)$ を簡潔な形にまとめることが重要である。