北海道大学 1980年 理系 第1問 解説

方針・初手

曲線の長さの公式 $s = \int_{0}^{x} \sqrt{1 + (f'(t))^2} dt$ を用い、条件（ロ）で与えられた関係式と等置する。得られた等式の両辺を $x$ で微分し、$f'(x)$ についての微分方程式を導いて解く。

解法1

曲線 $C: y = f(x)$ について、点 $(0, 1)$ から曲線上の任意の点 $(x, f(x))$ までの曲線の長さ $s$ は、次のように表される。

$$s = \int_{0}^{x} \sqrt{1 + (f'(t))^2} dt$$

条件（ロ）より、$s = e^{2x} + f(x) - 2$ であるから、

$$\int_{0}^{x} \sqrt{1 + (f'(t))^2} dt = e^{2x} + f(x) - 2$$

この両辺を $x$ で微分すると、微積分学の基本定理より

$$\sqrt{1 + (f'(x))^2} = 2e^{2x} + f'(x)$$

両辺を2乗して整理する。

$$1 + (f'(x))^2 = (2e^{2x} + f'(x))^2$$

$$1 + (f'(x))^2 = 4e^{4x} + 4e^{2x}f'(x) + (f'(x))^2$$

$$1 = 4e^{4x} + 4e^{2x}f'(x)$$

$f'(x)$ について解くと、

$$4e^{2x}f'(x) = 1 - 4e^{4x}$$

$$f'(x) = \frac{1 - 4e^{4x}}{4e^{2x}}$$

$$f'(x) = \frac{1}{4}e^{-2x} - e^{2x}$$

このとき、2乗する前の等式の右辺は $2e^{2x} + f'(x) = 2e^{2x} + \frac{1}{4}e^{-2x} - e^{2x} = e^{2x} + \frac{1}{4}e^{-2x} > 0$ となり、同値性は満たされている。

$f(x)$ を求めるために両辺を $x$ で積分する。

$$f(x) = \int \left( \frac{1}{4}e^{-2x} - e^{2x} \right) dx$$

$$f(x) = -\frac{1}{8}e^{-2x} - \frac{1}{2}e^{2x} + C \quad (C は積分定数)$$

条件（イ）より、曲線 $C$ は点 $(0, 1)$ を通るので、$f(0) = 1$ である。

$$1 = -\frac{1}{8}e^0 - \frac{1}{2}e^0 + C$$

$$1 = -\frac{1}{8} - \frac{1}{2} + C$$

$$1 = -\frac{5}{8} + C$$

$$C = \frac{13}{8}$$

したがって、求める曲線 $C$ の方程式は以下のようになる。

$$f(x) = -\frac{1}{2}e^{2x} - \frac{1}{8}e^{-2x} + \frac{13}{8}$$

解説

曲線の長さの公式と、定積分で表された関数の微分則 $\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} g(t) dt = g(x)$ を組み合わせる典型的な問題である。微分して得られる方程式に平方根が含まれるため両辺を2乗することになるが、$(f'(x))^2$ の項がうまく相殺されるため、容易に導関数を求めることができる。方程式を解く過程で両辺を2乗した際、無縁根が生じていないか（ $\sqrt{\quad} = (\text{正の式})$ となっているか）を確認しておくと、論理的により堅牢な解答となる。

答え

$$f(x) = -\frac{1}{2}e^{2x} - \frac{1}{8}e^{-2x} + \frac{13}{8}$$