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北海道大学 2005年理系第1問解説

方針・初手

(1) は $e^a$ を一つの変数とみて、2次方程式として解く。その際、指数関数の値域から $e^a > 0$ であることに注意する。

(2) は積分変数が $x$ であるため、$e^{2t}$ は定数として扱う。分子が分母の微分になっていることに着目し、対数関数の微分公式の逆を利用する。

(3) は**(2)で求めた関数 $F(t)$ を微分し、増減表を書いて最大値を求める。導関数の分子を整理すると(1)で扱った方程式と同型の式が現れるため、(1)**の結果を再利用できる。

解法1

(1)

$e^a = X$ とおくと、$a$ は実数であるから $X > 0$ である。

与えられた方程式は以下のように表される。

$$ X^2 - 2X - 1 = 0 $$

解の公式を用いて $X$ を求める。

$$ X = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2} = 1 \pm \sqrt{2} $$

$X > 0$ であるから、$X = 1 + \sqrt{2}$ となる。

したがって、$e^a = 1 + \sqrt{2}$ より、両辺の自然対数をとって $a$ を求める。

$$ a = \log(1 + \sqrt{2}) $$

(2)

被積分関数において、$e^{2t}$ は $x$ と無関係な定数である。また、$(e^x + e^{2t})' = e^x$ であるから、次のように積分できる。

$$ \begin{aligned} F(t) &= \int_{0}^{t} \frac{(e^x + e^{2t})'}{e^x + e^{2t}} dx \\ &= \left[ \log(e^x + e^{2t}) \right]_0^t \\ &= \log(e^t + e^{2t}) - \log(1 + e^{2t}) \\ &= \log \frac{e^t + e^{2t}}{1 + e^{2t}} \end{aligned} $$

(3)

**(2)**の結果より、$F(t) = \log(e^t + e^{2t}) - \log(1 + e^{2t})$ であるから、$t$ で微分すると以下のようになる。

$$ \begin{aligned} F'(t) &= \frac{e^t + 2e^{2t}}{e^t + e^{2t}} - \frac{2e^{2t}}{1 + e^{2t}} \\ &= \frac{1 + 2e^t}{1 + e^t} - \frac{2e^{2t}}{1 + e^{2t}} \\ &= \frac{(1 + 2e^t)(1 + e^{2t}) - 2e^{2t}(1 + e^t)}{(1 + e^t)(1 + e^{2t})} \\ &= \frac{1 + e^{2t} + 2e^t + 2e^{3t} - 2e^{2t} - 2e^{3t}}{(1 + e^t)(1 + e^{2t})} \\ &= \frac{-e^{2t} + 2e^t + 1}{(1 + e^t)(1 + e^{2t})} \\ &= \frac{-(e^{2t} - 2e^t - 1)}{(1 + e^t)(1 + e^{2t})} \end{aligned} $$

$F'(t) = 0$ とすると、分子が $0$ になるため $e^{2t} - 2e^t - 1 = 0$ である。

**(1)**より、これを満たす実数 $t$ は $t = \log(1 + \sqrt{2})$ のみである。また、$t = 0$ のとき、分子は $-(1 - 2 - 1) = 2 > 0$ であるため、$F'(0) > 0$ となる。

$t \geqq 0$ における $F(t)$ の増減表は次のようになる。

$t$	$0$	$\cdots$	$\log(1 + \sqrt{2})$	$\cdots$
$F'(t)$		$+$	$0$	$-$
$F(t)$		$\nearrow$	極大かつ最大	$\searrow$

増減表より、$F(t)$ は $t = \log(1 + \sqrt{2})$ で最大となる。

最大値 $F(\log(1 + \sqrt{2}))$ を求める。 $e^t = 1 + \sqrt{2}$ であり、**(1)**の方程式より $e^{2t} - 2e^t - 1 = 0$ すなわち $e^{2t} = 2e^t + 1$ が成り立つことを利用する。

$$ \begin{aligned} F(\log(1 + \sqrt{2})) &= \log \frac{e^t + e^{2t}}{1 + e^{2t}} \\ &= \log \frac{e^t + (2e^t + 1)}{1 + (2e^t + 1)} \\ &= \log \frac{3e^t + 1}{2e^t + 2} \\ &= \log \frac{3(1 + \sqrt{2}) + 1}{2(1 + \sqrt{2}) + 2} \\ &= \log \frac{4 + 3\sqrt{2}}{4 + 2\sqrt{2}} \end{aligned} $$

真数部分の分母を有理化する。

$$ \begin{aligned} \frac{4 + 3\sqrt{2}}{4 + 2\sqrt{2}} &= \frac{4 + 3\sqrt{2}}{2(2 + \sqrt{2})} \\ &= \frac{(4 + 3\sqrt{2})(2 - \sqrt{2})}{2(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} \\ &= \frac{8 - 4\sqrt{2} + 6\sqrt{2} - 6}{2(4 - 2)} \\ &= \frac{2 + 2\sqrt{2}}{4} \\ &= \frac{1 + \sqrt{2}}{2} \end{aligned} $$

したがって、最大値は $\log \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ である。

解説

(1) は指数方程式の典型的な解法である置き換えを用いて2次方程式に帰着させる。

(2) の積分では、被積分関数が $\frac{f'(x)}{f(x)}$ の形になっていることに気づけるかがポイントとなる。積分において $t$ は定数として扱うことに注意する。

(3) では微分の計算がやや煩雑になるが、通分して整理すると分子に (1) と同じ形の式が現れるようになっている。ここでの計算ミスを防ぐことが完答への鍵となる。また、最大値を求める際の代入計算においても、$e^{2t} = 2e^t + 1$ の関係式を用いることで、そのまま代入するよりも計算の手間とミスを減らすことができる。