トップ› 北海道大学› 1996年› 理系第5問

北海道大学 1996年理系第5問解説

方針・初手

絶対値を含む定積分であるため、積分区間における被積分関数の符号を調べることから始める。$\log(x-a)$ の符号は $x-a = 1$ すなわち $x = a+1$ を境に変化することに着目し、積分区間を分割して絶対値を外す。その後、$F(a)$ を $a$ の関数として表し、導関数 $F'(a)$ を用いて増減を調べ、最小値を求める。

解法1

被積分関数 $|\log(x-a)|$ について、真数条件より $x > a$ である。積分区間は $1 \leqq x \leqq 2$ であり、$0 \leqq a < 1$ であるから、積分区間において常に $x > a$ は満たされている。

$\log(x-a)$ の符号は $x-a = 1$ すなわち $x = a+1$ の前後で変化する。 $0 \leqq a < 1$ より $1 \leqq a+1 < 2$ であるから、積分区間 $1 \leqq x \leqq 2$ の内部に $x = a+1$ が存在する。

絶対値を外すと、以下のようになる。 $1 \leqq x \leqq a+1$ のとき、$0 < x-a \leqq 1$ より $\log(x-a) \leqq 0$ $a+1 \leqq x \leqq 2$ のとき、$x-a \geqq 1$ より $\log(x-a) \geqq 0$

したがって、$F(a)$ は積分区間を分割して次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} F(a) &= \int_1^2 |\log(x-a)| \,dx \\ &= \int_1^{a+1} \{-\log(x-a)\} \,dx + \int_{a+1}^2 \log(x-a) \,dx \end{aligned} $$

ここで、不定積分 $\int \log(x-a) \,dx$ は、部分積分法を用いて次のように求められる。（積分定数を $C$ とする）

$$ \begin{aligned} \int \log(x-a) \,dx &= \int (x-a)' \log(x-a) \,dx \\ &= (x-a)\log(x-a) - \int (x-a) \cdot \frac{1}{x-a} \,dx \\ &= (x-a)\log(x-a) - x + C \\ &= (x-a)\log(x-a) - (x-a) + C' \end{aligned} $$

これを用いて各定積分を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_1^{a+1} \log(x-a) \,dx &= \Big[ (x-a)\log(x-a) - (x-a) \Big]_1^{a+1} \\ &= (1 \cdot \log 1 - 1) - \{ (1-a)\log(1-a) - (1-a) \} \\ &= -1 - (1-a)\log(1-a) + (1-a) \\ &= -a - (1-a)\log(1-a) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \int_{a+1}^2 \log(x-a) \,dx &= \Big[ (x-a)\log(x-a) - (x-a) \Big]_{a+1}^2 \\ &= \{ (2-a)\log(2-a) - (2-a) \} - (1 \cdot \log 1 - 1) \\ &= (2-a)\log(2-a) - (2-a) + 1 \\ &= (2-a)\log(2-a) + a - 1 \end{aligned} $$

よって、$F(a)$ は次のように表される。

$$ \begin{aligned} F(a) &= - \{ -a - (1-a)\log(1-a) \} + \{ (2-a)\log(2-a) + a - 1 \} \\ &= (1-a)\log(1-a) + (2-a)\log(2-a) + 2a - 1 \end{aligned} $$

次に、$F(a)$ の最小値を求めるために $a$ で微分する。

$$ \begin{aligned} F'(a) &= -1 \cdot \log(1-a) + (1-a) \cdot \frac{-1}{1-a} - 1 \cdot \log(2-a) + (2-a) \cdot \frac{-1}{2-a} + 2 \\ &= -\log(1-a) - 1 - \log(2-a) - 1 + 2 \\ &= -\log(1-a) - \log(2-a) \\ &= -\log( (1-a)(2-a) ) \end{aligned} $$

$F'(a) = 0$ となる $a$ の値を求める。

$$ \begin{aligned} -\log( (1-a)(2-a) ) &= 0 \\ (1-a)(2-a) &= 1 \\ a^2 - 3a + 2 &= 1 \\ a^2 - 3a + 1 &= 0 \end{aligned} $$

これを解くと $a = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ を得る。 $0 \leqq a < 1$ の範囲を考える。$2 < \sqrt{5} < 3$ より $0 < 3-\sqrt{5} < 1$ であるから、条件を満たす解は次のようになる。

$$ a = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} $$

この値を $\alpha$ とおく。$0 \leqq a < 1$ における $F(a)$ の増減を調べる。 $a < \alpha$ のとき、$a^2 - 3a + 1 > 0$ すなわち $(1-a)(2-a) > 1$ より $F'(a) < 0$ となる。 $a > \alpha$ のとき、$a^2 - 3a + 1 < 0$ すなわち $(1-a)(2-a) < 1$ より $F'(a) > 0$ となる。

したがって、$F(a)$ は $a = \alpha$ で単独の極小値かつ最小値をとる。最小値 $F(\alpha)$ を計算する。$\alpha$ は $(1-\alpha)(2-\alpha) = 1$ を満たすので、$2-\alpha = \frac{1}{1-\alpha}$ である。これを用いると、

$$ \begin{aligned} F(\alpha) &= (1-\alpha)\log(1-\alpha) + (2-\alpha)\log\left(\frac{1}{1-\alpha}\right) + 2\alpha - 1 \\ &= (1-\alpha)\log(1-\alpha) - (2-\alpha)\log(1-\alpha) + 2\alpha - 1 \\ &= \{ (1-\alpha) - (2-\alpha) \} \log(1-\alpha) + 2\alpha - 1 \\ &= -\log(1-\alpha) + 2\alpha - 1 \end{aligned} $$

ここで、各項の値を計算する。

$$ \begin{aligned} 1-\alpha &= 1 - \frac{3-\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \\ 2\alpha - 1 &= 2 \left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right) - 1 = 3 - \sqrt{5} - 1 = 2 - \sqrt{5} \end{aligned} $$

これらを代入して整理する。

$$ \begin{aligned} F(\alpha) &= -\log \left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right) + 2 - \sqrt{5} \\ &= \log \left( \frac{2}{\sqrt{5}-1} \right) + 2 - \sqrt{5} \\ &= \log \left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right) + 2 - \sqrt{5} \end{aligned} $$

解説

絶対値を含む定積分と、積分で表された関数の最大・最小を問う典型的な微積分融合問題である。定積分の計算においては、絶対値記号の中身の符号が変わる点で積分区間を正しく分割できるかが最初のポイントとなる。その後、$F(a)$ を求めて微分する過程では、対数関数の積分および微分を正確に処理する計算力が求められる。最小値を求める終盤の計算では、$a = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ を直接 $F(a)$ の式に代入すると計算が煩雑になりやすい。そこで、$F'(a) = 0$ となる条件式 $(1-a)(2-a) = 1$ を活用して対数の真数を書き換え、式を大きく簡略化してから数値を代入するのが効果的な工夫である。