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北海道大学 2012年理系第1問解説

方針・初手

行列 $A$ が表す移動（一次変換）によって、直線上の点がどの点に移るかを考え、与えられた条件を数式に落とし込む。直線上の任意の点をパラメータ $t$ などを定数倍に持つベクトルとして表し、移動後の座標が移る先の直線の方程式を満たすという関係が、パラメータの値によらず恒等的に成り立つことから連立方程式を導く。

解法1

行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ とする。

条件(イ)より、直線 $y=x$ 上の任意の点は実数 $t$ を用いて $\begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix}$ と表される。これを $A$ で移動すると、

$$ A \begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (a+b)t \\ (c+d)t \end{pmatrix} $$

となる。これが直線 $y=x$ 上にあるため、任意の $t$ について $x$ 座標と $y$ 座標が等しくなる。

$$ (a+b)t = (c+d)t $$

これが $t$ についての恒等式であるから、

$$ a+b = c+d \quad \cdots \text{①} $$

条件(ロ)より、直線 $y=-x$ 上の任意の点は実数 $s$ を用いて $\begin{pmatrix} s \\ -s \end{pmatrix}$ と表される。これを $A$ で移動すると、

$$ A \begin{pmatrix} s \\ -s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s \\ -s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (a-b)s \\ (c-d)s \end{pmatrix} $$

となる。これが直線 $y=-x$ 上にあるため、任意の $s$ について $y$ 座標が $x$ 座標の $-1$ 倍となる。

$$ (c-d)s = -(a-b)s $$

これが $s$ についての恒等式であるから、$c-d = -a+b$ すなわち

$$ a+c = b+d \quad \cdots \text{②} $$

条件(ハ)より、$x$ 軸上の任意の点は実数 $u$ を用いて $\begin{pmatrix} u \\ 0 \end{pmatrix}$ と表される。これを $A$ で移動すると、

$$ A \begin{pmatrix} u \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} au \\ cu \end{pmatrix} $$

となる。これが直線 $y=kx$ 上にあるため、任意の $u$ について以下の式が成り立つ。

$$ cu = k(au) $$

これが $u$ についての恒等式であるから、

$$ c = ka \quad \cdots \text{③} $$

①と②の辺々を足すと、

$$ 2a + b + c = b + c + 2d $$

$$ 2a = 2d \iff a = d $$

①と②の辺々を引くと、

$$ b - c = c - b $$

$$ 2b = 2c \iff b = c $$

また、問題の条件より行列 $A$ の行列式は $1$ であるから、

$$ ad - bc = 1 \quad \cdots \text{④} $$

(1)

$a=d$ および $b=c$ を④に代入すると、

$$ a^2 - c^2 = 1 $$

さらに③の $c = ka$ を代入して整理する。

$$ a^2 - (ka)^2 = 1 $$

$$ a^2(1 - k^2) = 1 $$

$a$ および $k$ は実数であるから $a^2 \geqq 0$ である。もし $a=0$ とすると $0 = 1$ となり矛盾するため、$a \neq 0$ すなわち $a^2 > 0$ である。

したがって、両辺を $a^2$ で割る、あるいは符号に注目することで次式を得る。

$$ 1 - k^2 = \frac{1}{a^2} > 0 $$

これを解いて $k$ のとりうる値の範囲を求める。

$$ k^2 < 1 $$

$$ -1 < k < 1 $$

(2)

(1)の計算過程より、

$$ a^2 = \frac{1}{1-k^2} $$

であるから、$a$ は次のように表される。

$$ a = \pm \frac{1}{\sqrt{1-k^2}} $$

$d = a$、$b = c = ka$ であるため、行列 $A$ は $a$ と $k$ を用いて次のように書ける。

$$ A = \begin{pmatrix} a & ka \\ ka & a \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 & k \\ k & 1 \end{pmatrix} $$

求めた $a$ の値を代入して $A$ を $k$ のみで表す。

$$ A = \pm \frac{1}{\sqrt{1-k^2}} \begin{pmatrix} 1 & k \\ k & 1 \end{pmatrix} $$

解説

一次変換によって直線がどのように移るかを問う標準的な問題である。「直線 $L$ 上の点が直線 $M$ 上の点に移る」という条件は、直線 $L$ 上の任意の点を媒介変数で表し、一次変換を施した後の座標が直線 $M$ の方程式を恒等的に満たす、として処理するのが定石である。

本問の行列 $A$ は、結果として対称行列 $\begin{pmatrix} a & c \\ c & a \end{pmatrix}$ の形になり、かつ行列式が $1$ となる。これは双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ を不変に保つ変換（ローレンツ変換）として知られる形であり、固有ベクトルとして $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ を持つため、直線 $y=x$ と $y=-x$ が自己自身に移るという幾何学的性質と整合している。