東京工業大学 1992年 理系 第2問 解説

方針・初手

与えられた1次変換の条件を、行列の成分に関する方程式に翻訳して処理する。条件(1)からは行列 $A$ の成分に関する関係式が得られ、条件(2)からは点と直線の距離の公式を用いて、任意の $x, y$ で成り立つ恒等式を導くことができる。

解法1

行列 $A$ を次のように定める。

$$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$

条件(1)より、$f(P) = P$ であるから、

$$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

これより、以下の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} a + b = 1 \\ c + d = 1 \end{cases} $$

したがって、$b, d$ はそれぞれ $a, c$ を用いて次のように表せる。

$$ b = 1 - a $$

$$ d = 1 - c $$

これにより、行列 $A$ は次のように書ける。

$$ A = \begin{pmatrix} a & 1-a \\ c & 1-c \end{pmatrix} $$

次に、条件(2)について考える。原点 $O(0,0)$ と点 $P(1,1)$ を通る直線 $l$ の方程式は $y = x$、すなわち $x - y = 0$ である。

点 $X(x, y)$ から直線 $l$ への距離 $XH$ は、点と直線の距離の公式より、

$$ XH = \frac{|x - y|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|x - y|}{\sqrt{2}} $$

一方、点 $X$ の1次変換 $f$ による像 $X'(x', y')$ は、

$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 1-a \\ c & 1-c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + (1-a)y \\ cx + (1-c)y \end{pmatrix} $$

よって、$x', y'$ は以下のようになる。

$$ \begin{cases} x' = ax + (1-a)y \\ y' = cx + (1-c)y \end{cases} $$

点 $X'$ から直線 $l$ への距離 $X'H'$ は、

$$ X'H' = \frac{|x' - y'|}{\sqrt{2}} $$

ここで、$x' - y'$ を計算すると、

$$ \begin{aligned} x' - y' &= \{ax + (1-a)y\} - \{cx + (1-c)y\} \\ &= (a-c)x + (c-a)y \\ &= (a-c)(x-y) \end{aligned} $$

したがって、$X'H'$ は次のように変形できる。

$$ X'H' = \frac{|(a-c)(x-y)|}{\sqrt{2}} = \frac{|a-c||x-y|}{\sqrt{2}} $$

条件(2)より、$X$ のとり方によらず $XH = X'H'$ が成り立つので、任意の $x, y$ に対して次の等式が成り立つ。

$$ \frac{|x - y|}{\sqrt{2}} = \frac{|a-c||x-y|}{\sqrt{2}} $$

整理すると、

$$ |x - y| = |a-c||x - y| $$

これが任意の $x, y$ について成り立つための必要十分条件は、

$$ |a - c| = 1 $$

である。これを解くと、

$$ a - c = \pm 1 $$

すなわち、

$$ c = a \mp 1 $$

となる。それぞれの場合について、行列 $A$ を $a$ のみを用いて表す。

(i)

$c = a - 1$ のとき

$d = 1 - c = 1 - (a - 1) = 2 - a$ となる。このとき、行列 $A$ は、

$$ A = \begin{pmatrix} a & 1-a \\ a-1 & 2-a \end{pmatrix} $$

(ii)

$c = a + 1$ のとき

$d = 1 - c = 1 - (a + 1) = -a$ となる。このとき、行列 $A$ は、

$$ A = \begin{pmatrix} a & 1-a \\ a+1 & -a \end{pmatrix} $$

以上より、求める行列 $A$ はこれら2つである。

解説

1次変換に関する標準的な問題である。不動点に関する条件から行列の成分を絞り込み、距離に関する条件を恒等式として処理するという流れが基本となる。

距離の条件から得られる方程式が「任意の $X$ で成り立つ」という部分を正しく解釈し、$x, y$ に関する恒等式として係数比較（ここでは絶対値の比較）を行うことがポイントである。途中の $x' - y'$ の計算で、式が $(a-c)(x-y)$ ときれいに因数分解されることに気づけば、見通しよく計算を進めることができる。

答え

$$ A = \begin{pmatrix} a & 1-a \\ a-1 & 2-a \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} a & 1-a \\ a+1 & -a \end{pmatrix} $$