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名古屋大学 1996年理系第3問解説

方針・初手

(1) 絶対値を含む定積分は、絶対値の中身の符号が変わる境界で積分区間を分割するのが定石である。積分変数は $x$ であり、$t$ は定数扱いとなる。計算を簡単にするため、$u = \log x$ のような置換積分を行うと見通しがよくなる。 (2) (1)で求めた $A_n$ の差分について極限をとる。式の形から平均値の定理の利用が想起される。また、対数の性質を用いて変形してから極限をとることも可能である。

解法1

(1)

与えられた関数は以下の通りである。

$$ f_n(t) = \int_{1}^{n} \frac{1}{x} \left| \log \frac{t}{x} \right| dx = \int_{1}^{n} \frac{1}{x} \left| \log t - \log x \right| dx $$

$u = \log x$ と置換する。このとき $du = \frac{1}{x} dx$ であり、$x$ が $1$ から $n$ まで変化するとき、$u$ は $0$ から $\log n$ まで変化する。よって、積分は次のように書き換えられる。

$$ f_n(t) = \int_{0}^{\log n} |\log t - u| du $$

ここで、$1 \leqq t \leqq n$ より $0 \leqq \log t \leqq \log n$ である。被積分関数の絶対値を外すため、積分区間を $0 \leqq u \leqq \log t$ と $\log t \leqq u \leqq \log n$ に分ける。 $0 \leqq u \leqq \log t$ のとき $\log t - u \geqq 0$、$\log t \leqq u \leqq \log n$ のとき $\log t - u \leqq 0$ であるから、

$$ \begin{aligned} f_n(t) &= \int_{0}^{\log t} (\log t - u) du + \int_{\log t}^{\log n} -(\log t - u) du \\ &= \left[ (\log t)u - \frac{1}{2}u^2 \right]_{0}^{\log t} + \left[ \frac{1}{2}u^2 - (\log t)u \right]_{\log t}^{\log n} \\ &= \left( (\log t)^2 - \frac{1}{2}(\log t)^2 \right) + \left( \frac{1}{2}(\log n)^2 - (\log t)(\log n) - \left( \frac{1}{2}(\log t)^2 - (\log t)^2 \right) \right) \\ &= \frac{1}{2}(\log t)^2 + \frac{1}{2}(\log n)^2 - (\log n)(\log t) + \frac{1}{2}(\log t)^2 \\ &= (\log t)^2 - (\log n)(\log t) + \frac{1}{2}(\log n)^2 \end{aligned} $$

$f_n(t)$ を $\log t$ の2次関数とみて平方完成すると、

$$ \begin{aligned} f_n(t) &= \left( \log t - \frac{1}{2}\log n \right)^2 - \frac{1}{4}(\log n)^2 + \frac{1}{2}(\log n)^2 \\ &= \left( \log t - \frac{1}{2}\log n \right)^2 + \frac{1}{4}(\log n)^2 \end{aligned} $$

$0 \leqq \log t \leqq \log n$ におけるこの関数の最大値と最小値を考える。放物線の軸は $\log t = \frac{1}{2}\log n$ であり、これは区間 $[0, \log n]$ の中央である。したがって、$f_n(t)$ は頂点である $\log t = \frac{1}{2}\log n$ のとき最小値をとり、区間の両端である $\log t = 0$ または $\log t = \log n$ のとき最大値をとる。

最大値 $A_n$: $\log t = 0, \log n$ のとき

$$ A_n = \frac{1}{4}(\log n)^2 + \frac{1}{4}(\log n)^2 = \frac{1}{2}(\log n)^2 $$

最小値 $B_n$: $\log t = \frac{1}{2}\log n$ のとき

$$ B_n = \frac{1}{4}(\log n)^2 $$

(2)

(1) の結果より、$A_n = \frac{1}{2}(\log n)^2$ であるから、

$$ A_{n+1} - A_n = \frac{1}{2}(\log(n+1))^2 - \frac{1}{2}(\log n)^2 $$

関数 $h(x) = \frac{1}{2}(\log x)^2$ とおくと、関数 $h(x)$ は区間 $[n, n+1]$ で連続であり、区間 $(n, n+1)$ で微分可能である。平均値の定理により、

$$ \frac{h(n+1) - h(n)}{(n+1) - n} = h'(c_n) $$

を満たす実数 $c_n$ が $n < c_n < n+1$ に存在する。ここで、$h'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{\log x}{x}$ であるから、

$$ A_{n+1} - A_n = \frac{\log c_n}{c_n} $$

$n < c_n < n+1$ より、$n \to \infty$ のとき $c_n \to \infty$ である。与えられた条件 $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$ を用いると、

$$ \lim_{n \to \infty} (A_{n+1} - A_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{\log c_n}{c_n} = \lim_{c_n \to \infty} \frac{\log c_n}{c_n} = 0 $$

解法2

(2) の別解

(1) より $A_n = \frac{1}{2}(\log n)^2$ であるから、

$$ A_{n+1} - A_n = \frac{1}{2} \left\{ (\log(n+1))^2 - (\log n)^2 \right\} $$

因数分解と対数の性質を用いて式を変形する。

$$ \begin{aligned} A_{n+1} - A_n &= \frac{1}{2} \left( \log(n+1) - \log n \right) \left( \log(n+1) + \log n \right) \\ &= \frac{1}{2} \log\left( \frac{n+1}{n} \right) \left( \log\left( n\left(1+\frac{1}{n}\right) \right) + \log n \right) \\ &= \frac{1}{2} \log\left( 1+\frac{1}{n} \right) \left( 2\log n + \log\left( 1+\frac{1}{n} \right) \right) \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n} \cdot \log\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n \cdot \left( 2\log n + \log\left( 1+\frac{1}{n} \right) \right) \\ &= \log\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n \cdot \frac{\log n}{n} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n} \log\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n \cdot \log\left( 1+\frac{1}{n} \right) \end{aligned} $$

ここで、$n \to \infty$ のとき、自然対数の底 $e$ の定義より $\lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n = e$ であるから、$\lim_{n \to \infty} \log\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n = \log e = 1$ となる。また、条件より $\lim_{n \to \infty} \frac{\log n}{n} = 0$ である。さらに、$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$、$\lim_{n \to \infty} \log\left( 1+\frac{1}{n} \right) = \log 1 = 0$ である。したがって、

$$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} (A_{n+1} - A_n) &= 1 \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 \cdot 1 \cdot 0 \\ &= 0 \end{aligned} $$

解説

絶対値のついた定積分は、被積分関数の符号が変わる点で積分区間を分割するのが基本である。本問では $u = \log x$ の置換を行うことで、絶対値の中身が $\log t - u$ という1次式になり、積分の計算と区間の分割が容易になる。積分計算時には $\log t$ を定数とみなすことがポイントである。

極限の計算においては、$f(x+1)-f(x)$ の形の極限は平均値の定理の利用が有効な場合が多い。解法1のように平均値の定理を使うと、問題文で与えられた極限の条件式を直接利用できる形になり、非常に簡潔に解答できる。解法2のように直接変形でも自然対数の底の定義を用いることで導出可能であるため、式変形に自信があればこちらの方針でもよい。