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大阪大学 1992年理系第4問解説

方針・初手

単位時間あたりの注水量が一定であることを立式し、水の体積 $V$、水面の高さ $h$、水面の面積 $S(h)$、および水面の上昇速度 $v$ の関係式を導くことから始める。体積の微分を考えることで $S(h)$ と $v$ が反比例の関係にあることを見抜き、水面の面積が最大となる高さを $v$ の最小値から求める。その後、微分方程式 $v = \frac{dh}{dt}$ を積分することで所要時間を計算する。

解法1

時刻 $t$ における水面の高さを $h$、水面の面積を $S(h)$ とする。単位時間あたりの注水量を定数 $k \ (k>0)$ とおくと、時刻 $t$ における水の体積 $V$ は $V=kt$ と表される。両辺を $t$ で微分すると、

$$ \frac{dV}{dt} = k $$

となる。一方、体積 $V$ は水面の面積 $S(h)$ を用いて $V = \int_0^h S(x) dx$ と表される。合成関数の微分法により、

$$ \frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dh} \cdot \frac{dh}{dt} = S(h) v $$

したがって、

$$ S(h) v = k $$

が成り立つ。$k$ は正の定数であるから、$S(h) = \frac{k}{v}$ より、水面の面積 $S(h)$ が最大となるのは上昇速度 $v$ が最小となるときである。

$v = \frac{\sqrt{2+h}}{\log(2+h)} \ (0 \leqq h \leqq 10)$ の最小値を求める。ここで、$x = 2+h$ とおくと、$0 \leqq h \leqq 10$ より $2 \leqq x \leqq 12$ であり、

$$ v = \frac{\sqrt{x}}{\log x} $$

と表される。$x$ について微分すると、

$$ \frac{dv}{dx} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\log x - \sqrt{x}\cdot\frac{1}{x}}{(\log x)^2} = \frac{\log x - 2}{2\sqrt{x}(\log x)^2} $$

$\frac{dv}{dx} = 0$ とすると、$\log x = 2$ より $x = e^2$ である。 $e \approx 2.718$ より $e^2 \approx 7.389$ であるため、$x = e^2$ は定義域 $2 \leqq x \leqq 12$ に含まれる。 $2 \leqq x < e^2$ のとき $\frac{dv}{dx} < 0$、$e^2 < x \leqq 12$ のとき $\frac{dv}{dx} > 0$ となるから、$v$ は $x = e^2$ で極小かつ最小となる。このとき $h = e^2 - 2$ であり、水面の面積は最大となる。

次に、水面の上昇が始まってから $h = e^2 - 2$ となるまでの時間 $T$ を求める。 $v = \frac{dh}{dt}$ より $dt = \frac{1}{v} dh$ であるから、両辺を積分して、

$$ T = \int_0^{e^2-2} \frac{1}{v} dh = \int_0^{e^2-2} \frac{\log(2+h)}{\sqrt{2+h}} dh $$

$x = 2+h$ と置換積分する。$dx = dh$ であり、$h$ が $0$ から $e^2-2$ まで変化するとき、$x$ は $2$ から $e^2$ まで変化する。

$$ T = \int_2^{e^2} \frac{\log x}{\sqrt{x}} dx = \int_2^{e^2} x^{-\frac{1}{2}} \log x dx $$

部分積分法を用いて計算する。

$$ T = \left[ 2x^{\frac{1}{2}} \log x \right]_2^{e^2} - \int_2^{e^2} 2x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{x} dx $$

$$ = \left( 2e \log e^2 - 2\sqrt{2} \log 2 \right) - \int_2^{e^2} 2x^{-\frac{1}{2}} dx $$

$$ = 4e - 2\sqrt{2} \log 2 - \left[ 4x^{\frac{1}{2}} \right]_2^{e^2} $$

$$ = 4e - 2\sqrt{2} \log 2 - \left( 4e - 4\sqrt{2} \right) $$

$$ = 4\sqrt{2} - 2\sqrt{2} \log 2 $$

解説

「単位時間あたり一定の割合で水を注入する」という日本語を、$\frac{dV}{dt} = (\text{一定})$ と数式化できるかが最大の鍵である。体積の変化率 $\frac{dV}{dt} = S(h) \frac{dh}{dt}$ は、水槽や容器の問題における典型的な関係式なので確実に押さえておきたい。これが立式できれば、水面の面積の最大値問題が上昇速度 $v$ の最小値問題に帰着されることが論理的に示せる。後半の積分は、置換積分で形を整えたのちに部分積分を実行する標準的な計算問題である。