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北海道大学 2000年理系第1問解説

方針・初手

(1) 境界となる2つの関数のグラフの交点を求め、不等式の表す領域を特定する。 (2) 点 $\text{A}$ を通る接線を求めて点 $\text{B}$ の座標を決定し、底辺 $\text{AB}$ を固定したときの三角形の高さ（点 $\text{P}$ と直線 $\text{AB}$ の距離）が最大となる条件を考える。 (3) 与式を「点 $\text{A}$ と点 $(x, y)$ を通る直線の傾き」と幾何学的に解釈するか、(2) で得られた不等式を利用して代数的に範囲を求める。

解法1

(1)

不等式 $|x| \leqq y \leqq -\frac{1}{2}x^2 + 3$ の表す領域 $D$ を求める。境界線 $y = |x|$ と $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3$ の交点を求める。

(i) $x \geqq 0$ のとき

$x = -\frac{1}{2}x^2 + 3$ を整理すると、

$$ x^2 + 2x - 6 = 0 $$

$x \geqq 0$ を満たす解は $x = -1 + \sqrt{7}$ であり、交点は $(-1 + \sqrt{7}, -1 + \sqrt{7})$ である。

(ii) $x < 0$ のとき

$-x = -\frac{1}{2}x^2 + 3$ を整理すると、

$$ x^2 - 2x - 6 = 0 $$

$x < 0$ を満たす解は $x = 1 - \sqrt{7}$ であり、交点は $(1 - \sqrt{7}, \sqrt{7} - 1)$ である。

領域 $D$ は、上に凸の放物線 $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3$ と原点を頂点とする $V$ 字型の折れ線 $y = |x|$ で囲まれた領域であり、境界線を含む。

(2)

点 $\text{A} \left(-\frac{7}{2}, 0\right)$ を通る直線 $\text{AB}$ の方程式を $y = m\left(x + \frac{7}{2}\right)$ とおく。これが $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3$ に接するための条件は、二次方程式

$$ -\frac{1}{2}x^2 + 3 = m\left(x + \frac{7}{2}\right) $$

すなわち

$$ x^2 + 2mx + 7m - 6 = 0 $$

が重解をもつことである。判別式を $\frac{D}{4}$ とすると、

$$ \frac{D}{4} = m^2 - (7m - 6) = (m - 1)(m - 6) = 0 $$

よって $m = 1, 6$ である。接点の $x$ 座標は重解 $x = -m$ として求まる。

$m=1$ のとき、接点の $x$ 座標は $x = -1$ となり、接点は $\left(-1, \frac{5}{2}\right)$ である。 $m=6$ のとき、接点の $x$ 座標は $x = -6$ となり、接点は $(-6, -15)$ である。

点 $\text{B}$ は領域 $D$ に含まれる必要があり、領域 $D$ の $x$ 座標の範囲 $1 - \sqrt{7} \leqq x \leqq -1 + \sqrt{7}$ （ここで $1 - \sqrt{7} \approx -1.64$）より、$x = -6$ は不適である。よって $m = 1$ であり、点 $\text{B}$ の座標は $\left(-1, \frac{5}{2}\right)$ となる。

直線 $\text{AB}$ の方程式は $y = x + \frac{7}{2}$ すなわち $x - y + \frac{7}{2} = 0$ である。線分 $\text{AB}$ の長さは、

$$ \text{AB} = \sqrt{\left(-1 - \left(-\frac{7}{2}\right)\right)^2 + \left(\frac{5}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25}{4}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} $$

三角形 $\text{ABP}$ の面積が最大となるのは、領域 $D$ 内の点 $\text{P}(X, Y)$ と直線 $\text{AB}$ の距離 $d$ が最大となるときである。距離 $d$ は点と直線の距離の公式より、

$$ d = \frac{\left| X - Y + \frac{7}{2} \right|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{\left| X - Y + \frac{7}{2} \right|}{\sqrt{2}} $$

ここで、点 $\text{P}$ は $Y \leqq -\frac{1}{2}X^2 + 3$ を満たすので、

$$ X - Y + \frac{7}{2} \geqq X - \left(-\frac{1}{2}X^2 + 3\right) + \frac{7}{2} = \frac{1}{2}X^2 + X + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(X + 1)^2 \geqq 0 $$

が常に成り立つ。よって絶対値記号をそのまま外すことができ、

$$ d = \frac{X - Y + \frac{7}{2}}{\sqrt{2}} $$

となる。$d$ を最大にするには、$Y - X$ を最小にすればよい。点 $\text{P}$ は領域 $D$ 内にあるため $Y \geqq |X| \geqq X$ を満たし、つねに $Y - X \geqq 0$ である。 $Y - X = 0$ となるのは、点 $\text{P}$ が境界線 $y = x \ (0 \leqq x \leqq -1 + \sqrt{7})$ 上にあるときであり、このとき $Y - X$ は最小値 $0$ をとる。

したがって、$d$ の最大値は

$$ d_{\text{max}} = \frac{\frac{7}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{4} $$

よって、三角形 $\text{ABP}$ の面積の最大値 $S$ は

$$ S = \frac{1}{2} \cdot \text{AB} \cdot d_{\text{max}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{5\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{7\sqrt{2}}{4} = \frac{35}{8} $$

(3)

$k = \frac{y}{x + \frac{7}{2}}$ とおく。領域 $D$ において $x \geqq 1 - \sqrt{7} > -1.64$ であるため、$x + \frac{7}{2} > 0$ である。領域 $D$ の点は $y \geqq |x| \geqq 0$ を満たすので、

$$ k = \frac{y}{x + \frac{7}{2}} \geqq 0 $$

である。等号は $y = 0$ のとき、すなわち点 $(0, 0)$ においてのみ成り立ち、原点 $(0, 0)$ は領域 $D$ に含まれるため、$k$ の最小値は $0$ である。

また、(2) の議論より、領域 $D$ のすべての点 $(x, y)$ において $x - y + \frac{7}{2} \geqq 0$ が成り立つことが示されている。これを変形すると $y \leqq x + \frac{7}{2}$ であり、$x + \frac{7}{2} > 0$ で両辺を割ることで

$$ \frac{y}{x + \frac{7}{2}} \leqq 1 $$

が得られる。等号は $(x + 1)^2 = 0$ より $x = -1$、このとき $y = \frac{5}{2}$ で成り立つ。点 $\left(-1, \frac{5}{2}\right)$ は点 $\text{B}$ であり領域 $D$ に含まれるため、$k$ の最大値は $1$ である。

以上より、求める値の範囲は

$$ 0 \leqq \frac{y}{x + \frac{7}{2}} \leqq 1 $$

である。

解法2

(3) の別解（図形的な意味を考える解法）

式 $\frac{y}{x + \frac{7}{2}}$ は、定点 $\text{A} \left(-\frac{7}{2}, 0\right)$ と領域 $D$ 内の動点 $\text{P}(x, y)$ を通る直線の傾き $m$ を表している。点 $\text{A}$ は領域 $D$ の左下（$x$ 軸上）に位置している。点 $\text{A}$ を中心に直線を回転させ、領域 $D$ と共有点をもつような傾き $m$ の範囲を調べる。

領域 $D$ は $y \geqq 0$ の範囲にあるため、傾きが最も小さくなるのは、直線が領域 $D$ 内で最も低い位置にある点を通るときである。原点 $(0, 0)$ は領域 $D$ に含まれ、直線 $\text{AO}$ は $x$ 軸に一致するため、その傾きは $0$ である。よって最小値は $0$ となる。

傾きが最も大きくなるのは、直線が領域 $D$ の上側の境界である放物線 $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3$ に接するときである。(2) の結果より、点 $\text{A}$ から引いた接線のうち、接点が領域 $D$ 内にあるのは傾きが $1$ のときである。よって最大値は $1$ となる。

したがって、求める値の範囲は

$$ 0 \leqq \frac{y}{x + \frac{7}{2}} \leqq 1 $$

である。

解説

不等式の表す領域を把握し、その領域内での図形の計量や式の値の範囲を考える、図形と方程式の総合問題である。 (2) では、底辺が固定されていることに気づき、高さ（点と直線の距離）を最大化する方針をとるのが定石である。ここで絶対値記号を外す際に、領域の条件を利用して符号を判定する点が重要である。 (3) は式の形から「2点間の傾き」と幾何学的に解釈する視点をもてると見通しが良くなる。別解として示したように、視覚的に傾きの最大・最小を判定することで、計算量を減らしつつ確実な答えを得ることができる。