北海道大学 2004年 理系 第5問 解説

方針・初手

状態が「部屋A」「部屋B」の2つしかなく、毎回の試行で状態が確率的に推移するため、確率の漸化式（マルコフ連鎖）を立てるのが定石である。部屋の移動はサイコロの目によって決まり、移動する確率は $\frac{1}{3}$、移動しない確率は $\frac{2}{3}$ である。 持ち点については、各試行ごとの点数増減の期待値を考え、期待値の線形性を用いて和をとる方針で計算する。

解法1

(1)

1回の試行で、サイコロの目が1, 3である確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ であり、これが部屋を移動する確率である。移動しない確率は $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ である。

最初 ($n=0$) に部屋Aにいるので、$P_A(0)=1, P_B(0)=0$ である。 1回の試行後に部屋Aにいるのは、部屋Aから移動しない場合であり、部屋Bにいるのは部屋Aから移動する場合であるから、

$$ P_A(1) = P_A(0) \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3} $$

$$ P_B(1) = P_A(0) \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3} $$

第2試行、第3試行についても同様に、直前の状態からの遷移を考える。

$$ P_A(2) = P_A(1) \times \frac{2}{3} + P_B(1) \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{5}{9} $$

$$ P_B(2) = P_A(1) \times \frac{1}{3} + P_B(1) \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9} $$

$$ P_A(3) = P_A(2) \times \frac{2}{3} + P_B(2) \times \frac{1}{3} = \frac{5}{9} \times \frac{2}{3} + \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{14}{27} $$

$$ P_B(3) = P_A(2) \times \frac{1}{3} + P_B(2) \times \frac{2}{3} = \frac{5}{9} \times \frac{1}{3} + \frac{4}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{13}{27} $$

次に、第3試行の結果の持ち点の期待値 $E(3)$ を求める。 第 $k$ 試行の「結果」として得られる点数の増減を $Y_k$ とすると、$Y_k$ は確率 $P_A(k)$ で $+1$、確率 $P_B(k)$ で $-1$ の値をとる。 したがって、$Y_k$ の期待値は、

$$ E(Y_k) = 1 \cdot P_A(k) + (-1) \cdot P_B(k) = P_A(k) - P_B(k) $$

となる。最初の持ち点は1であるため、第3試行の結果の持ち点 $X_3$ は $X_3 = 1 + Y_1 + Y_2 + Y_3$ と表せる。 期待値の線形性より、

$$ \begin{aligned} E(3) &= 1 + E(Y_1) + E(Y_2) + E(Y_3) \\ &= 1 + (P_A(1) - P_B(1)) + (P_A(2) - P_B(2)) + (P_A(3) - P_B(3)) \\ &= 1 + \left(\frac{2}{3} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{5}{9} - \frac{4}{9}\right) + \left(\frac{14}{27} - \frac{13}{27}\right) \\ &= 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} \\ &= \frac{27 + 9 + 3 + 1}{27} \\ &= \frac{40}{27} \end{aligned} $$

(2)

第 $n+1$ 試行後に部屋Aにいるのは、以下の2つの排反な場合である。

• 第 $n$ 試行後に部屋Aにいて、移動しない（確率 $\frac{2}{3}$）
• 第 $n$ 試行後に部屋Bにいて、移動する（確率 $\frac{1}{3}$）

したがって、

$$ P_A(n+1) = \frac{2}{3} P_A(n) + \frac{1}{3} P_B(n) $$

同様に、第 $n+1$ 試行後に部屋Bにいるのは、

• 第 $n$ 試行後に部屋Aにいて、移動する（確率 $\frac{1}{3}$）
• 第 $n$ 試行後に部屋Bにいて、移動しない（確率 $\frac{2}{3}$）

したがって、

$$ P_B(n+1) = \frac{1}{3} P_A(n) + \frac{2}{3} P_B(n) $$

(3)

常に $P_A(n) + P_B(n) = 1$ が成り立つため、$P_B(n) = 1 - P_A(n)$ を (2) で求めた $P_A(n+1)$ の式に代入する。

$$ \begin{aligned} P_A(n+1) &= \frac{2}{3} P_A(n) + \frac{1}{3} (1 - P_A(n)) \\ &= \frac{1}{3} P_A(n) + \frac{1}{3} \end{aligned} $$

これを変形すると、

$$ P_A(n+1) - \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \left( P_A(n) - \frac{1}{2} \right) $$

数列 $\left\{ P_A(n) - \frac{1}{2} \right\}$ は、初項が $P_A(0) - \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$、公比が $\frac{1}{3}$ の等比数列であるから、

$$ P_A(n) - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \right)^n $$

よって、

$$ P_A(n) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \right)^n $$

また、$P_B(n) = 1 - P_A(n)$ より、

$$ P_B(n) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \right)^n $$

(4)

(1) と同様に、第 $n$ 試行の結果の持ち点 $X_n$ は $X_n = 1 + \sum_{k=1}^n Y_k$ と表せる。ここで $E(Y_k) = P_A(k) - P_B(k)$ である。 (3) の結果より、

$$ \begin{aligned} P_A(k) - P_B(k) &= \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \right)^k \right) - \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \right)^k \right) \\ &= \left( \frac{1}{3} \right)^k \end{aligned} $$

したがって、期待値の線形性を用いると $E(n)$ は以下のように計算できる。

$$ \begin{aligned} E(n) &= 1 + \sum_{k=1}^n E(Y_k) \\ &= 1 + \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{3} \right)^k \end{aligned} $$

$\sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{3} \right)^k$ は初項 $\frac{1}{3}$、公比 $\frac{1}{3}$、項数 $n$ の等比数列の和であるから、

$$ \begin{aligned} E(n) &= 1 + \frac{\frac{1}{3} \left\{ 1 - \left( \frac{1}{3} \right)^n \right\}}{1 - \frac{1}{3}} \\ &= 1 + \frac{1}{2} \left\{ 1 - \left( \frac{1}{3} \right)^n \right\} \\ &= \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \right)^n \end{aligned} $$

解説

状態の遷移を確率漸化式で捉える、典型的なマルコフ連鎖の問題である。 (1)のように具体的な小さい $n$ で実験させることで、遷移の規則性を把握させ、(2)の一般化への道筋をつけている。 (4)の期待値の計算では、各試行で得られる点数を確率変数として分離し、期待値の線形性 $E(X+Y) = E(X)+E(Y)$ を利用すると計算が簡明になる。確率変数 $X_n$ の確率分布を直接求めようとすると非常に複雑になるため、この「増減の期待値を足し合わせる」という発想が重要である。

答え

(1) $P_A(1) = \frac{2}{3}$, $P_A(2) = \frac{5}{9}$, $P_A(3) = \frac{14}{27}$ $P_B(1) = \frac{1}{3}$, $P_B(2) = \frac{4}{9}$, $P_B(3) = \frac{13}{27}$ $E(3) = \frac{40}{27}$

(2) $P_A(n+1) = \frac{2}{3} P_A(n) + \frac{1}{3} P_B(n)$ $P_B(n+1) = \frac{1}{3} P_A(n) + \frac{2}{3} P_B(n)$

(3) $P_A(n) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \right)^n$ $P_B(n) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \right)^n$

(4) $E(n) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \right)^n$