北海道大学 2005年 理系 第2問 解説

方針・初手

漸化式で与えられた行列の計算から $c_{n+1}$ を $c_n$ で表すことを目指す。与えられた行列は $\begin{pmatrix} p & q \\ -q & p \end{pmatrix}$ の形をしており、これは成分を2乗して足し合わせることでうまくまとまる構造になっている。まずは愚直に $a_{n+1}, b_{n+1}$ を計算し、それぞれの2乗和をとる。あるいは、複素数を用いて漸化式を捉え直すことも有効である。

解法1

(1)

与えられた漸化式を行列の乗法にしたがって書き下すと、 $$ \begin{aligned} a_{n+1} &= (\cos x + \cos y)a_n + (\sin x - \sin y)b_n \\ b_{n+1} &= -(\sin x - \sin y)a_n + (\cos x + \cos y)b_n \end{aligned} $$ となる。両辺をそれぞれ2乗して辺々を加えると、 $$ \begin{aligned} a_{n+1}^2 + b_{n+1}^2 &= \{(\cos x + \cos y)a_n + (\sin x - \sin y)b_n\}^2 \\ &\quad + \{-(\sin x - \sin y)a_n + (\cos x + \cos y)b_n\}^2 \\ &= \{(\cos x + \cos y)^2 + (\sin x - \sin y)^2\}a_n^2 \\ &\quad + \{(\sin x - \sin y)^2 + (\cos x + \cos y)^2\}b_n^2 \\ &= \{(\cos x + \cos y)^2 + (\sin x - \sin y)^2\} (a_n^2 + b_n^2) \end{aligned} $$ ここで、係数の部分を展開して整理する。 $$ \begin{aligned} &(\cos x + \cos y)^2 + (\sin x - \sin y)^2 \\ &= (\cos^2 x + 2\cos x \cos y + \cos^2 y) + (\sin^2 x - 2\sin x \sin y + \sin^2 y) \\ &= (\cos^2 x + \sin^2 x) + (\cos^2 y + \sin^2 y) + 2(\cos x \cos y - \sin x \sin y) \\ &= 1 + 1 + 2\cos(x+y) \\ &= 2 + 2\cos(x+y) \end{aligned} $$ したがって、 $$ c_{n+1} = \{2 + 2\cos(x+y)\} c_n $$ が成り立つ。数列 $\{c_n\}$ は公比 $2 + 2\cos(x+y)$ の等比数列である。 また、初項は $c_1 = a_1^2 + b_1^2 = 1^2 + 0^2 = 1$ である。 よって、求める $c_n$ は、 $$ c_n = \{2 + 2\cos(x+y)\}^{n-1} $$ である。

(2)

(1) の結果より、数列 $\{c_n\}$ は初項 $1$、公比 $r = 2 + 2\cos(x+y)$ の等比数列である。 $\lim_{n \to \infty} c_n = 0$ となるための条件は、公比 $r$ が $-1 < r < 1$ を満たすことである。 すべての実数 $x, y$ に対して $2 + 2\cos(x+y) \geqq 0$ であるから、条件は $$ 2 + 2\cos(x+y) < 1 $$ となる。これを整理して、 $$ \cos(x+y) < -\frac{1}{2} $$ を得る。 ここで、$x, y$ の取り得る範囲は $-\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ および $-\frac{\pi}{2} \leqq y \leqq \frac{\pi}{2}$ であるため、辺々を加えると $x+y$ の範囲は $$ -\pi \leqq x+y \leqq \pi $$ となる。この範囲において $\cos(x+y) < -\frac{1}{2}$ を解くと、 $$ -\pi \leqq x+y < -\frac{2}{3}\pi \quad \text{または} \quad \frac{2}{3}\pi < x+y \leqq \pi $$ となる。 これを $xy$ 平面上に図示する。求める領域は、正方形領域 $-\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2} \leqq y \leqq \frac{\pi}{2}$ の内部および境界のうち、直線 $y = -x - \frac{2}{3}\pi$ の下側、または直線 $y = -x + \frac{2}{3}\pi$ の上側の領域である。

• 直線 $y = -x - \frac{2}{3}\pi$ と $x = -\frac{\pi}{2}, y = -\frac{\pi}{2}$ の交点は、それぞれ $(-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{6}), (-\frac{\pi}{6}, -\frac{\pi}{2})$ である。
• 直線 $y = -x + \frac{2}{3}\pi$ と $x = \frac{\pi}{2}, y = \frac{\pi}{2}$ の交点は、それぞれ $(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}), (\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$ である。

したがって、図示する領域は以下の2つの直角二等辺三角形の内部および周となる。 領域1: 3点 $(-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{6}), (-\frac{\pi}{6}, -\frac{\pi}{2}), (-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2})$ を頂点とする三角形 領域2: 3点 $(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}), (\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}), (\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ を頂点とする三角形 ただし、境界線のうち直線 $y = -x - \frac{2}{3}\pi$ および $y = -x + \frac{2}{3}\pi$ 上の点は含まない。正方形の境界線上の点は含む。

解法2

(1)

複素数平面を用いて考える。$z_n = a_n + i b_n$ とおくと、$c_n = a_n^2 + b_n^2 = |z_n|^2$ である。 与えられた行列の漸化式から $z_{n+1}$ を計算すると、 $$ \begin{aligned} z_{n+1} &= a_{n+1} + i b_{n+1} \\ &= \{(\cos x + \cos y)a_n + (\sin x - \sin y)b_n\} + i\{-(\sin x - \sin y)a_n + (\cos x + \cos y)b_n\} \\ &= (\cos x + \cos y)(a_n + i b_n) - i(\sin x - \sin y)(a_n + i b_n) \\ &= \{(\cos x + \cos y) - i(\sin x - \sin y)\} z_n \end{aligned} $$ ここで、複素数 $\alpha = (\cos x + \cos y) - i(\sin x - \sin y)$ とおくと、$z_{n+1} = \alpha z_n$ となる。 両辺の絶対値の2乗をとると、 $$ |z_{n+1}|^2 = |\alpha|^2 |z_n|^2 $$ すなわち、 $$ c_{n+1} = |\alpha|^2 c_n $$ となる。ここで $|\alpha|^2$ を計算する。 $$ \begin{aligned} |\alpha|^2 &= (\cos x + \cos y)^2 + (-\sin x + \sin y)^2 \\ &= (\cos^2 x + 2\cos x \cos y + \cos^2 y) + (\sin^2 x - 2\sin x \sin y + \sin^2 y) \\ &= (\cos^2 x + \sin^2 x) + (\cos^2 y + \sin^2 y) + 2(\cos x \cos y - \sin x \sin y) \\ &= 2 + 2\cos(x+y) \end{aligned} $$ 初項は $c_1 = |z_1|^2 = 1^2 + 0^2 = 1$ であるから、数列 $\{c_n\}$ は初項 $1$、公比 $2 + 2\cos(x+y)$ の等比数列である。 よって、 $$ c_n = \{2 + 2\cos(x+y)\}^{n-1} $$

解説

与えられた行列 $\begin{pmatrix} p & q \\ -q & p \end{pmatrix}$ は、複素数 $p - iq$ を掛ける操作や、原点中心の回転と拡大（縮小）を表す行列と同型である。この性質に気づけば、成分を直接計算する解法1と、複素数を利用する解法2のどちらも自然に導ける。 (2)では等比数列の極限の条件 $-1 < r < 1$ を適用する。$r \geqq 0$ であることは式から明らかであるが、忘れないように注意したい。また、変数 $x, y$ が個別に範囲を持つため、和 $x+y$ の取り得る範囲を確認した上で三角不等式を解く手順を確実に踏む必要がある。

答え

(1) $c_n = \{2 + 2\cos(x+y)\}^{n-1}$

(2) 求める領域は、$xy$ 平面上の以下の連立不等式が表す領域である。 $$ \begin{cases} y < -x - \frac{2}{3}\pi \\ -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \\ -\frac{\pi}{2} \leqq y \leqq \frac{\pi}{2} \end{cases} \quad \text{または} \quad \begin{cases} y > -x + \frac{2}{3}\pi \\ -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \\ -\frac{\pi}{2} \leqq y \leqq \frac{\pi}{2} \end{cases} $$ （図示については解法1の文末に記載の通り。指定された2つの直角二等辺三角形の領域となる。）