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北海道大学 2015年理系第5問解説

方針・初手

(1)は、いわゆるウォリス積（Wallis積分）の漸化式を導く典型的な問題である。部分積分を用いて次数を下げる操作を行う。 (2)は、積分区間に変数 $x$ を含む関数 $f(x)$ の微分を計算する。被積分関数にも $x$ が含まれているため、積分変数 $\theta$ と関係のない $x$ を積分の外にくくり出してから微分を行う。 (3)は、(2)で求めた $n$ と $a$ の値を $f(x)$ に代入し、具体的な定積分を計算する。半角の公式などの三角関数の変形を利用すると計算が容易になる。

解法1

(1)

求める等式の左辺について、$\sin^{n+1}\theta = \sin^n\theta \sin\theta$ とみて部分積分を行う。

$$ \begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1}\theta d\theta &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n\theta (-\cos\theta)' d\theta \\ &= \Bigl[-\sin^n\theta \cos\theta\Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} n\sin^{n-1}\theta \cos\theta \cdot (-\cos\theta) d\theta \\ &= 0 + n \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}\theta \cos^2\theta d\theta \end{aligned} $$

ここで、$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を用いると、

$$ \begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1}\theta d\theta &= n \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}\theta (1 - \sin^2\theta) d\theta \\ &= n \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}\theta d\theta - n \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1}\theta d\theta \end{aligned} $$

となる。$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1}\theta d\theta$ を左辺に移項してまとめると、

$$ (n+1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1}\theta d\theta = n \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}\theta d\theta $$

両辺を $n+1$ ($\neq 0$) で割ることで、

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1}\theta d\theta = \frac{n}{n+1} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}\theta d\theta $$

が示された。

(2)

与えられた関数 $f(x)$ を展開し、積分変数 $\theta$ に無関係な $x$ を積分の外に出す。

$$ \begin{aligned} f(x) &= \int_{0}^{x} (x - \theta)(a \sin^{n+1}\theta - \sin^{n-1}\theta) d\theta \\ &= x \int_{0}^{x} (a \sin^{n+1}\theta - \sin^{n-1}\theta) d\theta - \int_{0}^{x} \theta(a \sin^{n+1}\theta - \sin^{n-1}\theta) d\theta \end{aligned} $$

両辺を $x$ で微分する。積の微分公式を用いる。

$$ \begin{aligned} f'(x) &= 1 \cdot \int_{0}^{x} (a \sin^{n+1}\theta - \sin^{n-1}\theta) d\theta + x (a \sin^{n+1}x - \sin^{n-1}x) - x(a \sin^{n+1}x - \sin^{n-1}x) \\ &= \int_{0}^{x} (a \sin^{n+1}\theta - \sin^{n-1}\theta) d\theta \end{aligned} $$

条件 $f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ より、

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (a \sin^{n+1}\theta - \sin^{n-1}\theta) d\theta = 0 $$

すなわち、

$$ a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1}\theta d\theta - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}\theta d\theta = 0 $$

となる。(1)で示した関係式を用いると、

$$ a \cdot \frac{n}{n+1} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}\theta d\theta - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}\theta d\theta = 0 $$

$$ \left( \frac{an}{n+1} - 1 \right) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}\theta d\theta = 0 $$

ここで、積分区間 $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ において $\sin^{n-1}\theta \geqq 0$ であり、常に $0$ ではないため、

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}\theta d\theta > 0 $$

である。したがって、

$$ \frac{an}{n+1} - 1 = 0 $$

が成り立つ。これを $a$ について解くと、

$$ a = \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n} $$

問題の条件より $a > \frac{3}{2}$ であるから、

$$ 1 + \frac{1}{n} > \frac{3}{2} $$

$$ \frac{1}{n} > \frac{1}{2} $$

$n$ は自然数であるから、これを満たす $n$ は $n=1$ のみである。このとき、

$$ a = 1 + \frac{1}{1} = 2 $$

となり、$a > \frac{3}{2}$ を満たす。

(3)

(2)より $n=1, a=2$ であるから、これらを $f(x)$ に代入する。ただし、問題の条件より $n=1$ のとき $\sin^0\theta = 1$ とする。

$$ f(x) = \int_{0}^{x} (x - \theta)(2 \sin^2\theta - 1) d\theta $$

ここで、半角の公式より $2 \sin^2\theta - 1 = - \cos 2\theta$ であるから、

$$ f(x) = \int_{0}^{x} (\theta - x) \cos 2\theta d\theta $$

と変形できる。$x = \frac{\pi}{2}$ を代入して計算する。部分積分法を用いる。

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{2}\right) &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\theta - \frac{\pi}{2}\right) \cos 2\theta d\theta \\ &= \Bigl[ \left(\theta - \frac{\pi}{2}\right) \frac{1}{2} \sin 2\theta \Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \cdot \frac{1}{2} \sin 2\theta d\theta \\ &= 0 - \frac{1}{2} \Bigl[ -\frac{1}{2} \cos 2\theta \Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{1}{4} ( \cos\pi - \cos 0 ) \\ &= \frac{1}{4} (-1 - 1) \\ &= -\frac{1}{2} \end{aligned} $$

解説

(1)の漸化式は頻出であり、誘導がなくても自力で導出できることが望ましい。部分積分の際に $\sin^{n+1}\theta$ を $\sin^n\theta$ と $\sin\theta$ の積に分けるのがポイントである。 (2)の積分方程式の微分では、$x$ が積分変数 $\theta$ から見て定数であることを意識し、あらかじめ積分の外へ出してから積の微分公式を用いるのが定石である。ここでそのまま微分してしまうミスが多いので注意したい。また、$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}\theta d\theta \neq 0$ であることを明記してから両辺を割る論理の丁寧さも求められる。 (3)は三角関数の次数下げが有効である。そのまま展開して計算することも可能だが、$2\sin^2\theta - 1 = -\cos 2\theta$ に気づけば積分計算が大幅に簡略化される。