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北海道大学 2017年理系第3問解説

方針・初手

三角形の外心の定義に従い、外心 $P$ から各頂点 $O, A, B$ までの距離が等しいという条件を立式する。問題文で与えられている関係式 $z = \alpha\beta$ をその条件式に代入し、絶対値の性質を用いて $\alpha$ と $\beta$ がそれぞれどのような図形上の点であるかを特定する。後半は、求めた $\alpha, \beta$ の条件を実数パラメータを用いて表し、$z = x + yi$ とおいて実部・虚部の関係式から軌跡（存在範囲）を求める典型的な手法を用いる。

解法1

(1)

$\triangle OAB$ が存在するための条件として、3点 $O, A, B$ は互いに異なり、かつ同一直線上にない。特に $\alpha \neq 0$ かつ $\beta \neq 0$ である。

点 $P(z)$ は $\triangle OAB$ の外心であるため、各頂点からの距離が等しい。すなわち、次が成り立つ。

$$ |z| = |z - \alpha| = |z - \beta| $$

これに与えられた条件 $z = \alpha\beta$ を代入すると、

$$ |\alpha\beta| = |\alpha\beta - \alpha| = |\alpha\beta - \beta| $$

$$ |\alpha||\beta| = |\alpha||\beta - 1| = |\beta||\alpha - 1| $$

$\alpha \neq 0$ かつ $\beta \neq 0$ より、各辺を $|\alpha|$ または $|\beta|$ で割ることができる。 $|\alpha||\beta| = |\alpha||\beta - 1|$ の両辺を $|\alpha|$ で割ると、

$$ |\beta| = |\beta - 1| $$

$|\alpha||\beta| = |\beta||\alpha - 1|$ の両辺を $|\beta|$ で割ると、

$$ |\alpha| = |\alpha - 1| $$

これより、点 $A(\alpha)$ は点 $0$ と点 $1$ から等距離にある点、すなわち線分 $0, 1$ の垂直二等分線上にある。

したがって、複素数 $\alpha$ の満たすべき条件は、

$$ \alpha + \bar{\alpha} = 1 $$

（または、$\alpha$ の実部が $\frac{1}{2}$ であること）となる。

また、点 $A(\alpha)$ が描く図形は、実軸上の点 $\frac{1}{2}$ を通り、虚軸に平行な直線である。（除外点については後述の通り存在しない）

(2)

(1)の議論から、$\alpha$ と $\beta$ はともに実部が $\frac{1}{2}$ の複素数であるから、$s, t$ を実数として次のように表せる。

$$ \alpha = \frac{1}{2} + si, \quad \beta = \frac{1}{2} + ti $$

$O, A, B$ が三角形をなすためには、これらが同一直線上にないことが必要である。$\alpha$ と $\beta$ はともに実部が $\frac{1}{2}$ であるため、原点 $O$ を通る同一直線上にあるのは $\alpha = \beta$ のときのみである。したがって、条件は $s \neq t$ である。任意の $\alpha$ （すなわち任意の実数 $s$）に対して、これと異なる $\beta$ （$s \neq t$ を満たす $t$）を常に取ることができるため、(1)における点 $A$ の軌跡から除外される点はない。

このとき、外心 $P$ を表す複素数 $z$ は、

$$ z = \alpha\beta = \left(\frac{1}{2} + si\right)\left(\frac{1}{2} + ti\right) = \left(\frac{1}{4} - st\right) + \frac{s+t}{2}i $$

複素数平面上で $z = x + yi$ （$x, y$ は実数）とおくと、実部と虚部を比較して次の式を得る。

$$ \begin{cases} x = \frac{1}{4} - st \\ y = \frac{s+t}{2} \end{cases} $$

これを $s, t$ の和と積について整理すると、

$$ \begin{cases} s + t = 2y \\ st = \frac{1}{4} - x \end{cases} $$

これは、$s$ と $t$ が $k$ についての2次方程式

$$ k^2 - 2yk + \left(\frac{1}{4} - x\right) = 0 $$

の解であることを示している。 $s, t$ は $s \neq t$ を満たす実数であるため、この2次方程式は異なる2つの実数解を持つ。したがって、判別式を $D$ とすると $D > 0$ となる。

$$ \frac{D}{4} = y^2 - \left(\frac{1}{4} - x\right) > 0 $$

これを整理して、$x$ と $y$ の満たすべき条件は次のようになる。

$$ x > -y^2 + \frac{1}{4} $$

以上より、点 $P(z)$ の存在範囲は、放物線 $x = -y^2 + \frac{1}{4}$ の右側の領域となる。境界となる放物線は、頂点が $(\frac{1}{4}, 0)$、実軸との交点が $\frac{1}{4}$、虚軸との交点が $\pm \frac{1}{2}i$ であり、左側に開いた形をしている。

解説

外心の性質 $|z| = |z-\alpha| = |z-\beta|$ に気づけるかどうかが第一のポイントである。ここから因数分解のような形を作り出すことで、$\alpha$ と $\beta$ が特定の直線上にあることが容易に導かれる。

後半は、2変数の和と積が与えられたときに、それらを解に持つ2次方程式の判別式に帰着させるという軌跡問題における定石である。$\triangle OAB$ がつぶれない条件（同一直線上にない条件）として $s \neq t$ が現れ、これが判別式 $D > 0$ （$D \geq 0$ ではない）という境界を含まない条件に直結することに注意したい。