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京都大学 1962年文系第6問解説

方針・初手

与えられた条件から、3つの三角形 $ABC$, $A'B'C'$, $A''B''C''$ はそれぞれ2辺の長さの比が $p : 1$ で共通していることがわかる。各三角形の頂角 $A, A', A''$ についての情報も与えられているため、余弦定理を用いて対辺 $BC, B'C', B''C''$ の長さを $p$ と角度を用いて表す。これを条件の等式 $B''C'' - BC = p(BC - B'C')$ に代入し、角度に関する条件から $p$ の値の範囲を絞り込むという方針で進める。

解法1

三角形が存在するためには各辺の長さが正でなければならないので、$p > 0$ である。条件より、$AB : AC = p : 1$ であり、他2つの三角形についても同様である。また $AC = A'C' = A''C''$ とおけるので、この共通の長さを $c$ ($c > 0$) とおく。すると、条件式は次のように表される。

$$ AB = A'B' = A''B'' = pc $$

$$ AC = A'C' = A''C'' = c $$

また、$\angle A' = \theta$ とおくと、条件 $\angle A' < \pi/2$ より $0 < \theta < \pi/2$ である。さらに $\angle A' + \angle A'' = \pi$ より $\angle A'' = \pi - \theta$ となる。

それぞれの三角形について、対辺の長さを求める。三角形 $ABC$ は $\angle A = \pi/2$ の直角三角形であるから、三平方の定理より

$$ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{(pc)^2 + c^2} = c\sqrt{p^2 + 1} $$

三角形 $A'B'C'$ において、余弦定理より

$$ B'C'^2 = A'B'^2 + A'C'^2 - 2 \cdot A'B' \cdot A'C' \cos A' $$

$$ = (pc)^2 + c^2 - 2 \cdot pc \cdot c \cos\theta $$

$$ = c^2(p^2 + 1 - 2p\cos\theta) $$

$B'C' > 0$ より、$B'C' = c\sqrt{p^2 + 1 - 2p\cos\theta}$ となる。

三角形 $A''B''C''$ において、余弦定理より

$$ B''C''^2 = A''B''^2 + A''C''^2 - 2 \cdot A''B'' \cdot A''C'' \cos A'' $$

$$ = (pc)^2 + c^2 - 2 \cdot pc \cdot c \cos(\pi - \theta) $$

$$ = c^2(p^2 + 1 + 2p\cos\theta) $$

$B''C'' > 0$ より、$B''C'' = c\sqrt{p^2 + 1 + 2p\cos\theta}$ となる。

これらを与えられた等式 $B''C'' - BC = p(BC - B'C')$ に代入する。

$$ c\sqrt{p^2 + 1 + 2p\cos\theta} - c\sqrt{p^2 + 1} = p(c\sqrt{p^2 + 1} - c\sqrt{p^2 + 1 - 2p\cos\theta}) $$

$c > 0$ より両辺を $c$ で割って整理する。

$$ \sqrt{p^2 + 1 + 2p\cos\theta} + p\sqrt{p^2 + 1 - 2p\cos\theta} = (p + 1)\sqrt{p^2 + 1} $$

ここで、$x = \cos\theta$ とおく。$0 < \theta < \pi/2$ より $0 < x < 1$ である。

$$ \sqrt{p^2 + 1 + 2px} + p\sqrt{p^2 + 1 - 2px} = (p + 1)\sqrt{p^2 + 1} $$

両辺はともに正であるから、両辺を2乗して同値変形を行う。左辺の2乗は以下のようになる。

$$ (p^2 + 1 + 2px) + p^2(p^2 + 1 - 2px) + 2p\sqrt{(p^2 + 1 + 2px)(p^2 + 1 - 2px)} $$

$$ = (p^2 + 1) + p^2(p^2 + 1) + 2px - 2p^3x + 2p\sqrt{(p^2 + 1)^2 - 4p^2x^2} $$

$$ = (p^2 + 1)^2 + 2p(1 - p^2)x + 2p\sqrt{(p^2 + 1)^2 - 4p^2x^2} $$

右辺の2乗は以下のようになる。

$$ (p + 1)^2(p^2 + 1) = (p^2 + 2p + 1)(p^2 + 1) = (p^2 + 1)^2 + 2p(p^2 + 1) $$

両辺を等置して $(p^2 + 1)^2$ を消去する。

$$ 2p(1 - p^2)x + 2p\sqrt{(p^2 + 1)^2 - 4p^2x^2} = 2p(p^2 + 1) $$

$p > 0$ より両辺を $2p$ で割る。

$$ (1 - p^2)x + \sqrt{(p^2 + 1)^2 - 4p^2x^2} = p^2 + 1 $$

$$ \sqrt{(p^2 + 1)^2 - 4p^2x^2} = (p^2 + 1) - (1 - p^2)x $$

ここで、右辺の正負を確認する。 $0 < p < 1$ のとき、$1 - p^2 > 0$ かつ $0 < x < 1$ より $(1 - p^2)x < 1 - p^2$ となるため、右辺 $> (p^2 + 1) - (1 - p^2) = 2p^2 > 0$。 $p \ge 1$ のとき、$1 - p^2 \le 0$ かつ $x > 0$ より $-(1 - p^2)x \ge 0$ となるため、右辺 $\ge p^2 + 1 > 0$。したがって、$p > 0, 0 < x < 1$ のもとで右辺は常に正であり、左辺の根号内も $(p^2 + 1)^2 - 4p^2x^2 > (p^2 + 1)^2 - 4p^2 = (p^2 - 1)^2 \ge 0$ より常に正である。よって、両辺をさらに2乗しても同値性は保たれる。

$$ (p^2 + 1)^2 - 4p^2x^2 = (p^2 + 1)^2 - 2(p^2 + 1)(1 - p^2)x + (1 - p^2)^2x^2 $$

$$ -4p^2x^2 = -2(p^2 + 1)(1 - p^2)x + (1 - p^2)^2x^2 $$

移項して $x$ について整理する。

$$ \{ (1 - p^2)^2 + 4p^2 \}x^2 - 2(p^2 + 1)(1 - p^2)x = 0 $$

ここで、$(1 - p^2)^2 + 4p^2 = 1 - 2p^2 + p^4 + 4p^2 = (p^2 + 1)^2$ であるから、

$$ (p^2 + 1)^2x^2 - 2(p^2 + 1)(1 - p^2)x = 0 $$

$$ x \{ (p^2 + 1)^2x - 2(p^2 + 1)(1 - p^2) \} = 0 $$

$x > 0$ より $x \neq 0$ であるため、括弧内が $0$ になる。

$$ (p^2 + 1)^2x = 2(p^2 + 1)(1 - p^2) $$

$p^2 + 1 > 0$ より、両辺を $p^2 + 1$ で割る。

$$ (p^2 + 1)x = 2(1 - p^2) $$

$$ x = \frac{2(1 - p^2)}{p^2 + 1} $$

条件を満たす三角形が存在するためには、この $x$ に対して $0 < x < 1$ となるような $\theta$ が存在すればよい。

$$ 0 < \frac{2(1 - p^2)}{p^2 + 1} < 1 $$

$p^2 + 1 > 0$ より、各辺に $p^2 + 1$ を掛ける。

$$ 0 < 2 - 2p^2 < p^2 + 1 $$

この連立不等式を解く。左側の不等式 $0 < 2 - 2p^2$ より $p^2 < 1$。$p > 0$ であるから、

$$ 0 < p < 1 $$

右側の不等式 $2 - 2p^2 < p^2 + 1$ より $3p^2 > 1$。$p > 0$ であるから、

$$ p > \frac{1}{\sqrt{3}} $$

これらを同時に満たす $p$ の範囲が求める条件となる。

解説

幾何学的な条件をすべて数式に翻訳し、同値変形を意識しながら代数的に処理する問題である。余弦定理を用いることで辺の長さを角度で表し、無理方程式を解く形に帰着する。根号を含む方程式では、両辺を2乗してよい条件（両辺がともに正であること）も確認する。また、角度 $\theta$ の存在条件を $\cos\theta$ の値域に置き換える処理は、三角関数を含む方程式における典型的な手法である。