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九州大学 1961年理系第4問解説

方針・初手

円に外接する四辺形に関する性質と面積の立式が問われている。 (1)では、四辺形の面積 $S$ を、円の中心 $O$ を頂点とする4つの三角形に分割して考える。円の中心と各頂点を結ぶ線分が内角を2等分すること、および中心から各辺に下ろした垂線の長さが半径 $r$ に等しいことを利用し、各辺の長さを $r$ と内角の半角の正接（$\tan$）で表す。 (2)では、$AD \parallel BC$ の条件から平行線の同側内角の和が $\pi$（$180^\circ$）であることを用い、(1)の式を変形する。和の最小値を評価するために、相加平均と相乗平均の大小関係を活用する。

解法1

(1)

円 $O$ は四辺形 $ABCD$ の内接円である。円 $O$ と辺 $AB, BC, CD, DA$ の接点をそれぞれ $E, F, G, H$ とする。

円の接線の性質より、円外の点から円に引いた2本の接線の長さは等しく、またその点と円の中心を結ぶ直線は接線のなす角を2等分する。したがって、

$$\angle OAE = \angle OAH = \frac{A}{2}$$

であり、直角三角形 $\triangle OAE$ に着目すると、

$$AE = \frac{r}{\tan \frac{A}{2}}$$

と表せる。同様にして、他の接線の長さも以下のように表せる。

$$AH = \frac{r}{\tan \frac{A}{2}}, \quad BE = BF = \frac{r}{\tan \frac{B}{2}}$$

$$CF = CG = \frac{r}{\tan \frac{C}{2}}, \quad DG = DH = \frac{r}{\tan \frac{D}{2}}$$

四辺形 $ABCD$ の周の長さ $L$ は、

$$L = AB + BC + CD + DA = (AE + BE) + (BF + CF) + (CG + DG) + (DH + AH)$$

であるから、上の関係を用いて、

$$L = 2 \left( \frac{r}{\tan \frac{A}{2}} + \frac{r}{\tan \frac{B}{2}} + \frac{r}{\tan \frac{C}{2}} + \frac{r}{\tan \frac{D}{2}} \right)$$

となる。

四辺形 $ABCD$ の面積 $S$ は、中心 $O$ を頂点とする4つの三角形 $\triangle OAB, \triangle OBC, \triangle OCD, \triangle ODA$ の面積の和である。これらの三角形の高さはいずれも円の半径 $r$ に等しいから、

$$S = \triangle OAB + \triangle OBC + \triangle OCD + \triangle ODA$$

$$S = \frac{1}{2} AB \cdot r + \frac{1}{2} BC \cdot r + \frac{1}{2} CD \cdot r + \frac{1}{2} DA \cdot r$$

$$S = \frac{1}{2} r (AB + BC + CD + DA) = \frac{1}{2} r L$$

が成り立つ。

したがって、

$$S = r^2 \left( \frac{1}{\tan \frac{A}{2}} + \frac{1}{\tan \frac{B}{2}} + \frac{1}{\tan \frac{C}{2}} + \frac{1}{\tan \frac{D}{2}} \right)$$

を得る。

(2)

$AD \parallel BC$ のとき、平行線の同側内角の和は $\pi$（$180^\circ$）であるから、

$$A + B = \pi, \quad C + D = \pi$$

が成り立つ。これを変形すると、

$$\frac{B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{A}{2}, \quad \frac{D}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$$

となる。

ここで、三角関数の性質 $\tan \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\tan \theta}$ を用いると、

$$\frac{1}{\tan \frac{B}{2}} = \frac{1}{\tan \left( \frac{\pi}{2} - \frac{A}{2} \right)} = \tan \frac{A}{2}$$

$$\frac{1}{\tan \frac{D}{2}} = \frac{1}{\tan \left( \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2} \right)} = \tan \frac{C}{2}$$

となる。

これらを (1) で求めた $S$ の式に代入すると、

$$S = r^2 \left( \frac{1}{\tan \frac{A}{2}} + \tan \frac{A}{2} + \frac{1}{\tan \frac{C}{2}} + \tan \frac{C}{2} \right)$$

となる。

四辺形の内角について $0 < A < \pi, 0 < C < \pi$ であるから、$0 < \frac{A}{2} < \frac{\pi}{2}, 0 < \frac{C}{2} < \frac{\pi}{2}$ となり、$\tan \frac{A}{2} > 0, \tan \frac{C}{2} > 0$ である。したがって、相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$\frac{1}{\tan \frac{A}{2}} + \tan \frac{A}{2} \geqq 2 \sqrt{ \frac{1}{\tan \frac{A}{2}} \cdot \tan \frac{A}{2} } = 2$$

$$\frac{1}{\tan \frac{C}{2}} + \tan \frac{C}{2} \geqq 2 \sqrt{ \frac{1}{\tan \frac{C}{2}} \cdot \tan \frac{C}{2} } = 2$$

が成り立つ。

ゆえに、

$$S \geqq r^2 (2 + 2) = 4r^2$$

となり、題意の不等式が成り立つことが証明された。

なお、等号が成立するのは $\tan \frac{A}{2} = \frac{1}{\tan \frac{A}{2}}$ かつ $\tan \frac{C}{2} = \frac{1}{\tan \frac{C}{2}}$ のとき、すなわち $\tan^2 \frac{A}{2} = 1, \tan^2 \frac{C}{2} = 1$ より $A = C = \frac{\pi}{2}$ のときである（このとき $B = D = \frac{\pi}{2}$ となり、四辺形 $ABCD$ は正方形となる）。

解説

内接円を持つ多角形の面積を求める際の基本的なアプローチは、中心と各頂点を結んで三角形に分割し、面積を足し合わせることである。本問では、接線の長さが等しいことを利用して各辺の長さを表す処理が求められる。 (2)では、「平行線の同傍内角の和が180度」という平面幾何の性質を用いて角の条件を整理し、$\tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$ の公式によって式を簡略化する。最後に「逆数の和」の最小値を求めるため、相加平均と相乗平均の大小関係を用いるのが典型的な流れである。