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東北大学 1965年文系第6問解説

方針・初手

点 $P$ と点 $Q$ が直線に対して対称であるための条件を立式し、点 $Q$ の座標を $P$ の座標を用いて表す。対称移動の条件は、「線分 $PQ$ の中点が直線上にあること」および「直線 $PQ$ が対称軸と垂直に交わること」の2点である。次に、求めた $Q$ の座標が与えられた曲線の方程式を満たすことから、点 $P$ の座標 $(x, y)$ が満たす方程式を導出する。得られた方程式を整理し、曲線の形状を特定してグラフの概形を描くための要素（中心や漸近線など）を求める。

解法1

点 $Q$ の座標を $(X, Y)$ とおく。点 $P(u, v)$ と点 $Q(X, Y)$ は直線 $l: y = -\sqrt{3}x$ に関して対称であるから、以下の2つの条件が成り立つ。

(i) 線分 $PQ$ の中点が直線 $l$ 上にある。

$$ \frac{Y+v}{2} = -\sqrt{3} \frac{X+u}{2} $$

これを整理して、

$$ \sqrt{3}X + Y = -\sqrt{3}u - v \quad \cdots (1) $$

(ii) 直線 $PQ$ は直線 $l$ に垂直である。

直線 $l$ の傾きは $-\sqrt{3}$ であるから、直線 $PQ$ の傾きは $\frac{1}{\sqrt{3}}$ である。

$$ \frac{Y-v}{X-u} = \frac{1}{\sqrt{3}} $$

これを整理して、

$$ X - \sqrt{3}Y = u - \sqrt{3}v \quad \cdots (2) $$

(1), (2) の連立方程式を $X, Y$ について解く。 $\sqrt{3} \times (1) + (2)$ より、

$$ 3X + \sqrt{3}Y + X - \sqrt{3}Y = -3u - \sqrt{3}v + u - \sqrt{3}v $$

$$ 4X = -2u - 2\sqrt{3}v $$

$$ X = -\frac{1}{2}u - \frac{\sqrt{3}}{2}v $$

(1) $- \sqrt{3} \times (2)$ より、

$$ \sqrt{3}X + Y - \sqrt{3}X + 3Y = -\sqrt{3}u - v - \sqrt{3}u + 3v $$

$$ 4Y = -2\sqrt{3}u + 2v $$

$$ Y = -\frac{\sqrt{3}}{2}u + \frac{1}{2}v $$

したがって、点 $Q$ の座標は以下のように表される。

$$ \left( -\frac{1}{2}u - \frac{\sqrt{3}}{2}v, \ -\frac{\sqrt{3}}{2}u + \frac{1}{2}v \right) $$

次に、点 $P$ が描く図形の方程式を求める。点 $P$ の座標を $(x, y)$ とすると、対応する点 $Q$ の座標 $(X, Y)$ は

$$ X = -\frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y $$

$$ Y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y $$

となる。点 $Q$ が方程式 $-\sqrt{3}(x-4)y + (x-4)^2 + 1 = 0$ 上にあることから、この式の $x, y$ に $X, Y$ を代入する。

代入計算を工夫するために、方程式を次のように変形する。

$$ (X-4) \{ (X-4) - \sqrt{3}Y \} + 1 = 0 $$

ここで、各因数を計算すると、

$$ X-4 = -\frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y - 4 $$

$$ X - \sqrt{3}Y = \left(-\frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y\right) - \sqrt{3}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y\right) $$

$$ = -\frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y + \frac{3}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y $$

$$ = x - \sqrt{3}y $$

となるので、方程式は次のように書き換えられる。

$$ \left( -\frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y - 4 \right) (x - \sqrt{3}y - 4) + 1 = 0 $$

両辺に $-2$ を掛けて整理する。

$$ (x + \sqrt{3}y + 8) (x - \sqrt{3}y - 4) - 2 = 0 $$

左辺を展開する。

$$ x^2 - \sqrt{3}xy - 4x + \sqrt{3}xy - 3y^2 - 4\sqrt{3}y + 8x - 8\sqrt{3}y - 32 - 2 = 0 $$

$$ x^2 - 3y^2 + 4x - 12\sqrt{3}y - 34 = 0 $$

$x$ と $y$ についてそれぞれ平方完成を行う。

$$ (x^2 + 4x) - 3(y^2 + 4\sqrt{3}y) - 34 = 0 $$

$$ \{ (x+2)^2 - 4 \} - 3 \{ (y+2\sqrt{3})^2 - 12 \} - 34 = 0 $$

$$ (x+2)^2 - 3(y+2\sqrt{3})^2 - 4 + 36 - 34 = 0 $$

$$ (x+2)^2 - 3(y+2\sqrt{3})^2 = 2 $$

両辺を $2$ で割ると、以下の形になる。

$$ \frac{(x+2)^2}{2} - \frac{(y+2\sqrt{3})^2}{\frac{2}{3}} = 1 $$

この方程式は、双曲線 $\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{\frac{2}{3}} = 1$ を $x$ 軸方向に $-2$、$y$ 軸方向に $-2\sqrt{3}$ だけ平行移動した図形を表す。中心は $(-2, -2\sqrt{3})$ であり、漸近線は

$$ \frac{x+2}{\sqrt{2}} \pm \frac{y+2\sqrt{3}}{\sqrt{\frac{2}{3}}} = 0 $$

すなわち

$$ x+2 \pm \sqrt{3}(y+2\sqrt{3}) = 0 $$

$$ x + \sqrt{3}y + 8 = 0, \quad x - \sqrt{3}y - 4 = 0 $$

となる。頂点は $(x+2)^2 = 2$ より $x+2 = \pm \sqrt{2}$、すなわち $(-2 \pm \sqrt{2}, -2\sqrt{3})$ である。

これらをもとにグラフを描く。グラフは、2本の漸近線 $x + \sqrt{3}y + 8 = 0$ と $x - \sqrt{3}y - 4 = 0$ に挟まれ、頂点 $(-2 + \sqrt{2}, -2\sqrt{3})$ と $(-2 - \sqrt{2}, -2\sqrt{3})$ を通り、左右に開いた双曲線となる。

解法2

複素数平面を用いて対称移動を考える。点 $P(u, v), Q(X, Y)$ を複素数平面上の点 $z = u + iv, w = X + iY$ とみなす。直線 $y = -\sqrt{3}x$ は、実軸の正の向きとなす角が $-60^\circ$（または $120^\circ$）の直線である。点 $w$ は、点 $z$ をこの直線に関して対称移動した点であるから、直線の偏角を $\theta = -60^\circ$ とすると、次のように表される。

$$ w = e^{i \cdot 2\theta} \bar{z} = e^{-i \cdot 120^\circ} \bar{z} $$

ここで、

$$ e^{-i \cdot 120^\circ} = \cos(-120^\circ) + i\sin(-120^\circ) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} $$

であるから、

$$ X + iY = \left( -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) (u - iv) $$

$$ = \left( -\frac{1}{2}u - \frac{\sqrt{3}}{2}v \right) + i \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}u + \frac{1}{2}v \right) $$

実部と虚部を比較して、

$$ X = -\frac{1}{2}u - \frac{\sqrt{3}}{2}v $$

$$ Y = -\frac{\sqrt{3}}{2}u + \frac{1}{2}v $$

これ以降の点 $P$ の軌跡の方程式を求める手順は解法1と同様である。

解説

前半の対称移動は、幾何的な条件（垂直と二等分）から連立方程式を立てて解くのが基本であるが、行列による一次変換や複素数平面（解法2）を利用すると計算を短縮できる。後半は求めた $(X, Y)$ を方程式に代入する計算がメインとなるが、そのまま展開すると計算が煩雑になりやすい。$(X-4)^2$ や $\sqrt{3}(X-4)Y$ といった形から、$X-4$ をくくり出すなどの工夫をすることで、計算量とミスのリスクを減らすことができる。また、代入後の式が $(x+\sqrt{3}y+8)(x-\sqrt{3}y-4) - 2 = 0$ という因数分解に近い形になるが、これがそのまま双曲線の漸近線の方程式に直結している点に気づくと見通しが良い。