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京都大学 1968年文系第6問解説

方針・初手

2つの曲線 $y = f(x)$ と $y = g(x)$ が点 $(p, q)$ で接するための条件は、$f(p) = g(p) = q$ かつ $f'(p) = g'(p)$ である。本問では接点が $(1, 1)$ であるから、まずここから係数 $a, b, c$ の関係式を導く。

次に面積条件を使う。差の関数を $h(x)=f(x)-g(x)$ とおくと、接点の条件から $h(x)$ は $(x-1)^2$ を因数にもつ。これを用いて $0 \leqq x \leqq 1$ における上下関係と面積を調べる。

解法1

$f(x) = x^3$、$g(x) = ax^2 + bx + c$ とする。

1. 接点の条件から係数の関係式を求める

2つのグラフが点 $(1, 1)$ で接することから、以下の条件が成り立つ。

(i)

$g(1) = 1$ より

$$ a + b + c = 1 \quad \cdots ① $$

(ii)

$f'(x) = 3x^2$、$g'(x) = 2ax + b$ であり、 $x = 1$ における微分係数が一致するので、$f'(1) = g'(1)$ より

$$ 3 = 2a + b \quad \cdots ② $$

②より $b = 3 - 2a$ であり、これを①に代入すると

$$ a + (3 - 2a) + c = 1 \implies c = a - 2 $$

これらを $g(x)$ に代入すると

$$ g(x) = ax^2 + (3 - 2a)x + (a - 2) $$

2. 面積の条件から $a$ を求める

$x \geqq 0$ において、2つの曲線の差を $h(x) = f(x) - g(x)$ とおく。 $h(x) = x^3 - \{ax^2 + (3 - 2a)x + (a - 2)\}$ である。 $x = 1$ で接することから、$h(x)$ は $(x-1)^2$ で割り切れる。実際に因数分解すると

$$ h(x) = (x - 1)^2 (x - a + 2) $$

となる。

ここで $a<0$ であるから、$x-a+2 > 0$ が $x \geqq 0$ で成り立つ。したがって、$0 \leqq x \leqq 1$ では $(x-1)^2 \geqq 0$ とあわせて $h(x) \geqq 0$、すなわち $f(x) \geqq g(x)$ である。

$y$ 軸 ($x=0$)、2つのグラフ、および $x \geqq 0$ で囲まれた部分の面積が $1$ であるから

$$ \int_{0}^{1} \{f(x) - g(x)\} \, dx = 1 $$

$$ \int_{0}^{1} (x - 1)^2 (x - a + 2) \, dx = 1 $$

ここで $u = x - 1$ と置換すると、$dx = du$ であり、範囲は $x: 0 \to 1$ のとき $u: -1 \to 0$ となる。また $x = u + 1$ より

$$ \int_{-1}^{0} u^2 (u + 1 - a + 2) \, du = 1 $$

$$ \int_{-1}^{0} \{u^3 + (3-a)u^2\} \, du = 1 $$

$$ \left[ \frac{1}{4}u^4 + \frac{3-a}{3}u^3 \right]_{-1}^{0} = 1 $$

$$ 0 - \left\{ \frac{1}{4} - \frac{3-a}{3} \right\} = 1 $$

$$ -\frac{1}{4} + \frac{3-a}{3} = 1 $$