京都大学 1969年 文系 第1問 解説

方針・初手

与えられた三角関数の加法定理 $(3), (4)$ および負角の性質 $(1), (2)$ を用いて、新たな公式を導出する。

$(5)$ の正接の加法定理については、 $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ の定義に基づき、分母・分子を $\cos \alpha \cos \beta$ で割ることで求める。

$(6), (7)$ の和積公式については、加法定理で角の和と差を並べ、和をとってから変数変換する。

解法1

(5) $\tan(\alpha + \beta)$ の導出

正接の定義 $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ より、次のように変形できる。

$$ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} $$

これに $(3), (4)$ を代入すると、

$$ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta} $$

右辺の分母・分子を $\cos \alpha \cos \beta$ で割ると（ただし $\cos \alpha \cos \beta \neq 0$ とする）、

$$ \begin{aligned} \tan(\alpha + \beta) &= \frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} + \frac{\cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{\cos \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} - \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}} \\ &= \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{1 - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\sin \beta}{\cos \beta}} \end{aligned} $$

再び $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を用いることで、次式が得られる。

$$ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} $$

(6) $\sin \alpha + \sin \beta$ の導出

まず、加法定理 $(3)$ より、

$$ \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \quad \cdots \text{①} $$

次に、①の $y$ を $-y$ に置き換え、$(1), (2)$ を用いると、

$$ \begin{aligned} \sin(x - y) &= \sin x \cos(-y) + \cos x \sin(-y) \\ &= \sin x \cos y - \cos x \sin y \quad \cdots \text{②} \end{aligned} $$

① $+$ ② より、

$$ \sin(x + y) + \sin(x - y) = 2 \sin x \cos y \quad \cdots \text{③} $$

ここで、$x + y = \alpha$, $x - y = \beta$ とおくと、$x = \frac{\alpha + \beta}{2}$, $y = \frac{\alpha - \beta}{2}$ となる。これらを ③ に代入して、

$$ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $$

(7) $\cos \alpha + \cos \beta$ の導出

加法定理 $(4)$ より、

$$ \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \quad \cdots \text{④} $$

同様に、④の $y$ を $-y$ に置き換え、$(1), (2)$ を用いると、

$$ \begin{aligned} \cos(x - y) &= \cos x \cos(-y) - \sin x \sin(-y) \\ &= \cos x \cos y + \sin x \sin y \quad \cdots \text{⑤} \end{aligned} $$

④ $+$ ⑤ より、

$$ \cos(x + y) + \cos(x - y) = 2 \cos x \cos y \quad \cdots \text{⑥} $$

$(6)$ と同様に、$x + y = \alpha$, $x - y = \beta$ とおき、$x = \frac{\alpha + \beta}{2}$, $y = \frac{\alpha - \beta}{2}$ を ⑥ に代入すると、

$$ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $$

解説

本問は、基本的な加法定理から派生する諸公式の導出過程を問うものである。

$(5)$ の導出では、分母・分子を $\cos \alpha \cos \beta$ で割ると正接の形に整理できる。

$(6), (7)$ は加法定理から直接導ける。$x+y=\alpha,\ x-y=\beta$ とおく変数変換まで含めて追うと、式のつながりが見えやすい。

答え

$(5)$

$$ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} $$

$(6)$

$$ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $$

$(7)$

$$ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $$