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京都大学 1970年文系第5問解説

方針・初手

点 $(a, b)$ が直線上にある条件を利用して変数を減らし、直線の方程式を $a$ のみで表す。放物線と直線の交点を求めた後、定積分で面積を計算し、面積を $a$ の関数として整理して最小値を与える $a$ を求める。

解法1

点 $(a, b)$ は直線 $y = 2x - 2$ 上にあるから、

$$ b = 2a - 2 $$

が成り立つ。これを直線の方程式 $y = 2ax - b$ に代入すると、

$$ y = 2ax - (2a - 2) = 2ax - 2a + 2 $$

となる。放物線 $y = x^2$ とこの直線の交点の $x$ 座標は、方程式

$$ x^2 = 2ax - 2a + 2 $$

すなわち

$$ x^2 - 2ax + 2a - 2 = 0 \cdots (1) $$

の実数解である。この2次方程式 (1) の判別式を $D$ とすると、

$$ \frac{D}{4} = (-a)^2 - 1 \cdot (2a - 2) = a^2 - 2a + 2 = (a - 1)^2 + 1 > 0 $$

となるため、方程式 (1) は常に異なる2つの実数解をもつ。それらを $\alpha, \beta \ (\alpha < \beta)$ とおくと、解の公式より、

$$ x = a \pm \sqrt{a^2 - 2a + 2} $$

であるから、

$$ \beta - \alpha = (a + \sqrt{a^2 - 2a + 2}) - (a - \sqrt{a^2 - 2a + 2}) = 2\sqrt{a^2 - 2a + 2} $$

となる。求める面積を $S$ とすると、$\alpha \leqq x \leqq \beta$ において直線は放物線 $y = x^2$ の上側にあるので、

$$ S = \int_{\alpha}^{\beta} \{ (2ax - 2a + 2) - x^2 \} dx $$

$$ S = -\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx $$

$$ S = \frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3 $$

となる。ここに $\beta - \alpha = 2\sqrt{a^2 - 2a + 2}$ を代入して、

$$ S = \frac{1}{6} \left( 2\sqrt{a^2 - 2a + 2} \right)^3 = \frac{8}{6} (a^2 - 2a + 2)^{\frac{3}{2}} = \frac{4}{3} (a^2 - 2a + 2)\sqrt{a^2 - 2a + 2} $$

これが求める面積である。

次に、この面積 $S$ が最小となる $a$ の値を求める。$S$ は $a^2 - 2a + 2$ が正の値であり、かつこれが最小のときに最小となる。

$$ a^2 - 2a + 2 = (a - 1)^2 + 1 $$

であるから、$a^2 - 2a + 2$ は $a = 1$ のとき最小値 $1$ をとる。したがって、面積 $S$ を最小にする $a$ の値は $a = 1$ である。

解法2

交点の $x$ 座標 $\alpha, \beta \ (\alpha < \beta)$ の差を、解と係数の関係を用いて求める別解を示す。

方程式 $x^2 - 2ax + 2a - 2 = 0$ の解が $\alpha, \beta$ であるから、解と係数の関係より、

$$ \alpha + \beta = 2a $$

$$ \alpha \beta = 2a - 2 $$

が成り立つ。これを用いて $(\beta - \alpha)^2$ を計算すると、

$$ (\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = (2a)^2 - 4(2a - 2) = 4a^2 - 8a + 8 = 4(a^2 - 2a + 2) $$

となる。$\beta > \alpha$ より $\beta - \alpha > 0$ であるから、

$$ \beta - \alpha = 2\sqrt{a^2 - 2a + 2} $$

を得る。以降の面積 $S$ の計算および最小値を与える $a$ の計算は解法1と同様である。

解説

放物線と直線の囲む面積を求める典型的な問題である。定積分の計算においては、「 $\frac{1}{6}$ 公式」を用いることで計算を大幅に簡略化し、ミスのリスクを減らすことができる。交点の $x$ 座標の差 $\beta - \alpha$ を求める際には、解の公式から直接計算する（解法1）か、解と係数の関係を利用する（解法2）かのどちらかを選択すればよい。また、面積を求める前提として、直線と放物線が異なる2点で交わること（判別式が正であること）を確認する手順も論理の飛躍を防ぐために重要である。