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大阪大学 1998年文系第1問解説

方針・初手

与えられたベクトルの和の条件 $\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OR} = \vec{0}$ を変形すると、$\overrightarrow{OR} = -(\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ})$ となる。これより、内積 $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ}$ の値が求まれば、$|\overrightarrow{OR}|$ や $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OR}$ の値が計算でき、求める線分の長さとコサインの値が得られる。

まずは $\triangle OPQ$ に着目し、辺の長さや角度の条件から内積 $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ}$ を求めることを最初の目標とする。

解法1

$\triangle OPQ$ において、$\angle OPQ$ に着目して余弦定理を用いる。

$$ OQ^2 = OP^2 + PQ^2 - 2 \cdot OP \cdot PQ \cos \angle OPQ $$

与えられた条件 $OP = 2, OQ = 3, \angle OPQ = 60^\circ$ を代入する。

$$ 3^2 = 2^2 + PQ^2 - 2 \cdot 2 \cdot PQ \cdot \frac{1}{2} $$

$$ 9 = 4 + PQ^2 - 2PQ $$

$$ PQ^2 - 2PQ - 5 = 0 $$

これを解くと $PQ = 1 \pm \sqrt{1 - (-5)} = 1 \pm \sqrt{6}$ となるが、線分の長さより $PQ > 0$ であるため、

$$ PQ = 1 + \sqrt{6} $$

次に、$\triangle OPQ$ において $\angle POQ$ に着目して再度余弦定理を用いる。

$$ PQ^2 = OP^2 + OQ^2 - 2 \cdot OP \cdot OQ \cos \angle POQ $$

求めた $PQ$ と条件を代入する。

$$ (1 + \sqrt{6})^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cos \angle POQ $$

$$ 7 + 2\sqrt{6} = 13 - 12 \cos \angle POQ $$

$$ 12 \cos \angle POQ = 6 - 2\sqrt{6} $$

$$ \cos \angle POQ = \frac{3 - \sqrt{6}}{6} $$

したがって、$\overrightarrow{OP}$ と $\overrightarrow{OQ}$ の内積は以下のように求まる。

$$ \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} = OP \cdot OQ \cos \angle POQ = 2 \cdot 3 \cdot \frac{3 - \sqrt{6}}{6} = 3 - \sqrt{6} $$

ここで、条件 $\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OR} = \vec{0}$ より $\overrightarrow{OR} = -\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OQ}$ であるため、$OR$ の長さの2乗は次のように計算できる。

$$ |\overrightarrow{OR}|^2 = |-\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OQ}|^2 $$

$$ = |\overrightarrow{OP}|^2 + 2\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} + |\overrightarrow{OQ}|^2 $$

$$ = 2^2 + 2(3 - \sqrt{6}) + 3^2 $$

$$ = 4 + 6 - 2\sqrt{6} + 9 $$

$$ = 19 - 2\sqrt{6} $$

$|\overrightarrow{OR}| > 0$ より、

$$ OR = \sqrt{19 - 2\sqrt{6}} $$

また、$\overrightarrow{OP}$ と $\overrightarrow{OR}$ の内積を計算する。

$$ \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OP} \cdot (-\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OQ}) $$

$$ = -|\overrightarrow{OP}|^2 - \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} $$

$$ = -4 - (3 - \sqrt{6}) $$

$$ = -7 + \sqrt{6} $$

以上より、求めるコサインの値は内積の定義式から次のように計算できる。

$$ \cos \angle POR = \frac{\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OR}}{OP \cdot OR} = \frac{-7 + \sqrt{6}}{2\sqrt{19 - 2\sqrt{6}}} $$

解法2

ベクトル演算を用いて内積を直接求める。$\overrightarrow{OP} = \vec{p}, \overrightarrow{OQ} = \vec{q}, \overrightarrow{OR} = \vec{r}$ とおく。

条件より $|\vec{p}| = 2, |\vec{q}| = 3, \vec{p} + \vec{q} + \vec{r} = \vec{0}$ である。

$\overrightarrow{PQ} = \vec{q} - \vec{p}$ であり、$\angle OPQ = 60^\circ$ よりベクトル $\overrightarrow{PO}$ と $\overrightarrow{PQ}$ のなす角が $60^\circ$ となる。$\overrightarrow{PO} = -\vec{p}$ であるため、内積の定義より以下の等式が成り立つ。

$$ \overrightarrow{PO} \cdot \overrightarrow{PQ} = |\overrightarrow{PO}| |\overrightarrow{PQ}| \cos 60^\circ $$

$$ (-\vec{p}) \cdot (\vec{q} - \vec{p}) = |-\vec{p}| |\vec{q} - \vec{p}| \cdot \frac{1}{2} $$

展開して整理し、$|\vec{p}| = 2$ を代入する。

$$ -\vec{p} \cdot \vec{q} + |\vec{p}|^2 = \frac{1}{2} |\vec{p}| |\vec{q} - \vec{p}| $$

$$ -\vec{p} \cdot \vec{q} + 4 = |\vec{q} - \vec{p}| $$

絶対値を外すために両辺を2乗する。

$$ (-\vec{p} \cdot \vec{q} + 4)^2 = |\vec{q} - \vec{p}|^2 $$

$$ (\vec{p} \cdot \vec{q})^2 - 8\vec{p} \cdot \vec{q} + 16 = |\vec{q}|^2 - 2\vec{p} \cdot \vec{q} + |\vec{p}|^2 $$

$|\vec{p}|^2 = 4, |\vec{q}|^2 = 9$ を代入して整理する。

$$ (\vec{p} \cdot \vec{q})^2 - 8\vec{p} \cdot \vec{q} + 16 = 13 - 2\vec{p} \cdot \vec{q} $$

$$ (\vec{p} \cdot \vec{q})^2 - 6\vec{p} \cdot \vec{q} + 3 = 0 $$

これを解くと、

$$ \vec{p} \cdot \vec{q} = 3 \pm \sqrt{6} $$

ここで、2乗する前の式 $-\vec{p} \cdot \vec{q} + 4 = |\vec{q} - \vec{p}|$ について、右辺は長さであるため正である。したがって左辺についても $-\vec{p} \cdot \vec{q} + 4 > 0$ を満たす必要がある。

(i)

$\vec{p} \cdot \vec{q} = 3 + \sqrt{6}$ のとき

左辺 $= 4 - (3 + \sqrt{6}) = 1 - \sqrt{6} < 0$ となり不適である。

(ii)

$\vec{p} \cdot \vec{q} = 3 - \sqrt{6}$ のとき

左辺 $= 4 - (3 - \sqrt{6}) = 1 + \sqrt{6} > 0$ となり適する。

したがって、内積は $\vec{p} \cdot \vec{q} = 3 - \sqrt{6}$ と定まる。

以降の計算は解法1と同様である。$\vec{r} = -\vec{p} - \vec{q}$ より、

$$ |\vec{r}|^2 = |-\vec{p} - \vec{q}|^2 = |\vec{p}|^2 + 2\vec{p} \cdot \vec{q} + |\vec{q}|^2 = 4 + 2(3 - \sqrt{6}) + 9 = 19 - 2\sqrt{6} $$

よって、$OR = \sqrt{19 - 2\sqrt{6}}$ となる。また、

$$ \vec{p} \cdot \vec{r} = \vec{p} \cdot (-\vec{p} - \vec{q}) = -|\vec{p}|^2 - \vec{p} \cdot \vec{q} = -4 - (3 - \sqrt{6}) = -7 + \sqrt{6} $$

$$ \cos \angle POR = \frac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{|\vec{p}| |\vec{r}|} = \frac{-7 + \sqrt{6}}{2\sqrt{19 - 2\sqrt{6}}} $$

解説

与えられた角度が $\angle POQ$ ではなく $\angle OPQ$ である点が本問の最大のポイントである。この処理方法として、解法1のように三角形の辺の長さを介して余弦定理を2回用いる幾何的アプローチと、解法2のようにベクトルのなす角の定義式から方程式を立てる代数的アプローチが考えられる。

解法2は立式が簡潔であるが、絶対値を含む方程式を解くために両辺を2乗した際、同値性が崩れることに注意が必要である。出てきた解が元の条件（本問では $-\vec{p} \cdot \vec{q} + 4 > 0$）を満たすかどうかの十分性の確認を必ず行いる。

なお、最終的な解答に含まれる根号 $\sqrt{19 - 2\sqrt{6}}$ は二重根号であるが、有理数の範囲では外すことができないため、このままの形で解答として問題ない。