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京都大学 1981年文系第1問解説

方針・初手

点 $A, B$ がそれぞれ $x$ 軸、$y$ 軸上にあることから、各点の位置ベクトルを成分表示でおき、1次変換を表す行列を成分で設定して代数的に処理する方針が確実である。（1）は、与えられた3つの式から行列の成分と $\overrightarrow{OC}$ の成分に関する連立方程式を作り、それを解くことで示せる。（2）は、(1) で求めた行列を用いて $f(\overrightarrow{OP})$ を成分で表し、「直交する」という条件を内積が $0$ であるという方程式に帰着させる。

解法1

点 $A$ は $x$ 軸上、点 $B$ は $y$ 軸上にあり、それぞれ原点と異なるので、

$$ \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix} \ (a \neq 0), \quad \overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ b \end{pmatrix} \ (b \neq 0) $$

とおける。 1次変換 $f$ を表す行列を $F$ とする。 $f(\overrightarrow{OA}) = \overrightarrow{OB}$ より、

$$ F \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ b \end{pmatrix} \iff F \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{b}{a} \end{pmatrix} $$

また、$\overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$ とおくと、$f(\overrightarrow{OB}) = \overrightarrow{OC}$ より、

$$ F \begin{pmatrix} 0 \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \iff F \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{c}{b} \\ \frac{d}{b} \end{pmatrix} $$

したがって、行列 $F$ は次のように表される。

$$ F = \begin{pmatrix} 0 & \frac{c}{b} \\ \frac{b}{a} & \frac{d}{b} \end{pmatrix} $$

さらに、$f(\overrightarrow{OC}) = \overrightarrow{OA}$ であるから、

$$ \begin{pmatrix} 0 & \frac{c}{b} \\ \frac{b}{a} & \frac{d}{b} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix} $$

成分を比較して、次の2式を得る。

$$ \frac{cd}{b} = a \quad \cdots \text{①} $$

$$ \frac{bc}{a} + \frac{d^2}{b} = 0 \quad \cdots \text{②} $$

(1) ①より $cd = ab$ であるから、$d = \frac{ab}{c}$ となる（$a \neq 0, b \neq 0$ より $c \neq 0$ であることが①からわかる）。これを②に代入すると、

$$ \frac{bc}{a} + \frac{1}{b} \left( \frac{ab}{c} \right)^2 = 0 $$

$$ \frac{bc}{a} + \frac{a^2 b}{c^2} = 0 $$

両辺に $\frac{ac^2}{b}$ を掛けると（$b \neq 0$）、

$$ c^3 + a^3 = 0 \iff (c+a)(c^2-ac+a^2) = 0 $$

$a, c$ は実数であり、$c^2-ac+a^2 = \left(c-\frac{a}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}a^2 > 0$ （$a \neq 0$ より）であるため、

$$ c + a = 0 \implies c = -a $$

これを $cd = ab$ に代入すると、$-ad = ab \implies d = -b$ よって、$\overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix} -a \\ -b \end{pmatrix}$ である。したがって、

$$ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -a \\ -b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \vec{0} $$

が示された。

(2) (1)の結果より、$c = -a, d = -b$ であるから、1次変換を表す行列 $F$ は

$$ F = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{a}{b} \\ \frac{b}{a} & -1 \end{pmatrix} $$

となる。平面上の点 $P$ の位置ベクトルを $\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とおくと、

$$ f(\overrightarrow{OP}) = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{a}{b} \\ \frac{b}{a} & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{a}{b}y \\ \frac{b}{a}x - y \end{pmatrix} $$

$\overrightarrow{OP}$ と $f(\overrightarrow{OP})$ が直交するならば、これらの内積は $0$ である。

$$ \overrightarrow{OP} \cdot f(\overrightarrow{OP}) = x \left(-\frac{a}{b}y\right) + y \left(\frac{b}{a}x - y\right) = 0 $$

$$ -\frac{a}{b}xy + \frac{b}{a}xy - y^2 = 0 $$

$$ \left(\frac{b}{a} - \frac{a}{b}\right)xy - y^2 = 0 $$

ここで、条件 $|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}|$ より、$|a| = |b|$ である。よって $a^2 = b^2$ が成り立つため、

$$ \frac{b}{a} - \frac{a}{b} = \frac{b^2 - a^2}{ab} = 0 $$

となる。したがって、内積の式は

$$ 0 \cdot xy - y^2 = 0 \implies -y^2 = 0 \implies y = 0 $$

となる。 $y=0$ は点 $P$ の $y$ 座標が $0$ であることを意味するから、点 $P$ は $x$ 軸上にあることが示された。

解説

1次変換の決定問題である。1次独立な2つのベクトルの行き先が決まれば1次変換はただ1つに定まる性質を利用する。本問は各座標軸上のベクトルに行き先が与えられているため、行列の成分を直接文字で置いて連立方程式を解くアプローチが見通し良く確実である。 (1)は $F^3 \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OA}$ を用いるなどの行列の性質から攻めることも可能であるが、成分計算で容易に因数分解できるため素直に計算する方が試験場では迷いが少ない。 (2)も「直交する」という条件を「内積が0」と言い換えて計算を進めるだけの素直な展開になる。