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大阪大学 1983年理系第2問解説

方針・初手

1次変換による直線の像を求める基本手順に従う。直線 $2x + y = 1$ 上の点 $(x, y)$ を媒介変数で表すか、または $y = 1 - 2x$ として1次変換の式に代入し、変換後の点 $(x', y')$ の関係式を導く。

（2）については、（1）で求めた方程式が「$a$ の値に無関係な一定の直線」を表す条件を考える。これは、方程式を $a$ について整理したときに現れる2つの直線が一致することと同値である。また、直線を通る定点と方向ベクトルに分けて考える視点を持つと、計算をより簡潔に進めることができる。

解法1

(1)

直線 $2x + y = 1$ 上の点は $(x, 1 - 2x)$ と表せる。これを1次変換の式に代入すると、

$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a & b \\ 3ab - 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 1 - 2x \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2ax + b(1 - 2x) \\ (3ab - 1)x + (1 - 2x) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(a - b)x + b \\ 3(ab - 1)x + 1 \end{pmatrix} $$

したがって、

$$ \begin{cases} x' = 2(a - b)x + b \\ y' = 3(ab - 1)x + 1 \end{cases} $$

問題の条件より $a$ と $b$ は相異なる実数であるから $a - b \neq 0$ となり、第1式から $x$ を求めることができる。

$$ x = \frac{x' - b}{2(a - b)} $$

これを第2式に代入して $x$ を消去する。

$$ y' = 3(ab - 1) \cdot \frac{x' - b}{2(a - b)} + 1 $$

両辺に $2(a - b)$ を掛けて整理する。

$$ 2(a - b)y' = 3(ab - 1)(x' - b) + 2(a - b) $$

$$ 3(ab - 1)x' - 2(a - b)y' - 3b(ab - 1) + 2(a - b) = 0 $$

求める像の直線の方程式は、$x', y'$ をそれぞれ $x, y$ に置き換えて、

$$ 3(ab - 1)x - 2(a - b)y - 3ab^2 + 2a + 3b - 2b = 0 $$

$$ 3(ab - 1)x - 2(a - b)y - 3ab^2 + 2a + b = 0 $$

(2)

（1）で求めた直線の式を $a$ について整理する。

$$ (3bx - 2y - 3b^2 + 2)a + (-3x + 2by + b) = 0 $$

$a \neq b$ なるどのような $a$ の値に対しても、これが「一定の直線」を表すための条件を考える。これは、2つの直線 $3bx - 2y - 3b^2 + 2 = 0$ と $-3x + 2by + b = 0$ が同一の直線を表すことと同値である。

$b = 0$ のとき、2直線は $-2y + 2 = 0$ と $-3x = 0$ となり、直交するため一致しない。したがって $b \neq 0$ であり、2直線が一致する条件は、対応する係数の比が等しくなることであるから、

$$ \frac{3b}{-3} = \frac{-2}{2b} = \frac{-(3b^2 - 2)}{b} $$

これが成り立つ必要がある。 $\frac{3b}{-3} = \frac{-2}{2b}$ より、$-b = -\frac{1}{b}$ となり、$b^2 = 1$ すなわち $b = \pm 1$ を得る。

(i)

$b = 1$ のとき係数の比は $\frac{3}{-3} = -1$、定数項の比は $\frac{-(3 - 2)}{1} = -1$ となり、一致条件を満たす。このとき、直線の方程式は $(a - 1)(3x - 2y - 1) = 0$ となり、$a \neq 1$ より $3x - 2y - 1 = 0$ となる。これは $a$ に無関係な一定の直線である。

(ii)

$b = -1$ のとき係数の比は $\frac{-3}{-3} = 1$、定数項の比は $\frac{-(3 - 2)}{-1} = 1$ となり、一致条件を満たす。このとき、直線の方程式は $-(a + 1)(3x + 2y + 1) = 0$ となり、$a \neq -1$ より $3x + 2y + 1 = 0$ となる。これも $a$ に無関係な一定の直線である。

以上より、求める $b$ の値は $b = \pm 1$ である。

解法2

ベクトルを用いた媒介変数表示によるアプローチを示す。

(1)

直線 $2x + y = 1$ 上の点 $(x, y)$ は、実数 $t$ を用いて次のように表せる。

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} $$

これを1次変換を表す行列 $A = \begin{pmatrix} 2a & b \\ 3ab - 1 & 1 \end{pmatrix}$ で変換した点 $(x', y')$ は、

$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = A \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \right\} = A \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t A \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2a - 2b \\ (3ab - 1) - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2(a - b) \\ 3(ab - 1) \end{pmatrix} $$

これより、像の直線は定点 $(b, 1)$ を通り、方向ベクトルが $\vec{d} = \begin{pmatrix} 2(a - b) \\ 3(ab - 1) \end{pmatrix}$ であるとわかる。 $x' = b + 2(a - b)t$ から、$a \neq b$ を用いて $t = \frac{x' - b}{2(a - b)}$ とし、$y' = 1 + 3(ab - 1)t$ に代入して整理することで、解法1と同じ直線の方程式を得る。

$$ 3(ab - 1)x - 2(a - b)y - 3ab^2 + 2a + b = 0 $$

(2)

像の直線は $a$ の値によらず常に定点 $(b, 1)$ を通る。したがって、この直線が $a$ に無関係な一定の直線となるためには、その方向ベクトルの向きが $a$ によらず一定であればよい。 $a \neq b$ より $\vec{d}$ の $x$ 成分は $0$ ではないため、直線の傾き $m$ を考えることができる。

$$ m = \frac{3(ab - 1)}{2(a - b)} $$

これが $a$ の値に無関係な一定値 $k$ をとるような $b$ の条件を求める。

$$ \frac{3(ab - 1)}{2(a - b)} = k $$

$$ 3ab - 3 = 2k(a - b) $$

$$ (3b - 2k)a + (2kb - 3) = 0 $$

これが $a$ についての恒等式となればよいので、

$$ \begin{cases} 3b - 2k = 0 \\ 2kb - 3 = 0 \end{cases} $$

第1式より $k = \frac{3}{2}b$。これを第2式に代入すると、

$$ 2 \left(\frac{3}{2}b\right) b - 3 = 0 $$

$$ 3b^2 - 3 = 0 $$

$$ b = \pm 1 $$

このとき、方向ベクトル $\vec{d}$ は $\vec{0}$ にならず（$b = 1$ のとき $(a - 1)\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$、$b = -1$ のとき $(a + 1)\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$）、直線は確かに一定に定まる。