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京都大学 1982年文系第5問解説

方針・初手

平面図形の問題であるが、条件が重心のみで構成されており、長さや角度の情報がないため、位置ベクトルを用いて代数的に処理するのが最も適している。任意の原点に対する各頂点の位置ベクトルを設定し、重心の公式を用いて $A_1, B_1, C_1, D_1$ の位置ベクトルを求める。対称性から、線分 $AA_1$ 上にある点が他の線分上にもあることを示すために、4つのベクトルの平均である $\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}$ を表す点が、各線分をどのような比で分けるかを逆算して導く。これにより (1) と (2) が同時に解決する。

解法1

平面上の任意の点を原点 $O$ とし、四辺形 $ABCD$ の各頂点 $A, B, C, D$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ とする。

(1) $\triangle BCD$ の重心が $A_1$ であるから、その位置ベクトル $\vec{a_1}$ は

$$ \vec{a_1} = \frac{\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{3} $$

である。ここで、線分 $AA_1$ を $3:1$ に内分する点 $P$ を考えると、その位置ベクトル $\vec{p}$ は

$$ \vec{p} = \frac{1 \cdot \vec{a} + 3 \cdot \vec{a_1}}{3+1} = \frac{\vec{a} + 3 \cdot \frac{\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{3}}{4} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4} $$

となる。この $\vec{p}$ を表す式は $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ について対称である。

同様にして、他の3つの重心の位置ベクトルは $\triangle CDA$ の重心 $B_1$: $\vec{b_1} = \frac{\vec{c}+\vec{d}+\vec{a}}{3}$ $\triangle DAB$ の重心 $C_1$: $\vec{c_1} = \frac{\vec{d}+\vec{a}+\vec{b}}{3}$ $\triangle ABC$ の重心 $D_1$: $\vec{d_1} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$ である。

線分 $BB_1$ を $3:1$ に内分する点の位置ベクトルを計算すると、

$$ \frac{1 \cdot \vec{b} + 3 \cdot \vec{b_1}}{3+1} = \frac{\vec{b} + (\vec{c}+\vec{d}+\vec{a})}{4} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4} = \vec{p} $$

線分 $CC_1$ を $3:1$ に内分する点の位置ベクトルは、

$$ \frac{1 \cdot \vec{c} + 3 \cdot \vec{c_1}}{3+1} = \frac{\vec{c} + (\vec{d}+\vec{a}+\vec{b})}{4} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4} = \vec{p} $$

線分 $DD_1$ を $3:1$ に内分する点の位置ベクトルは、

$$ \frac{1 \cdot \vec{d} + 3 \cdot \vec{d_1}}{3+1} = \frac{\vec{d} + (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})}{4} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4} = \vec{p} $$

となる。したがって、位置ベクトル $\vec{p}$ で表される点 $P$ は、線分 $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ のすべての上に（各線分の内分点として）存在する。ゆえに、これら4つの線分は 1 点 $P$ を共有する。（証明終）

(2) (1) の証明過程において、点 $P$ は各線分 $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ をそれぞれ $3:1$ に内分する点として求めた。したがって、点 $P$ は各線分を頂点側（$A, B, C, D$ 側）から $3:1$ の比に分ける。

解説

四角形の「重心」に関する美しい性質を証明する問題である。複数の線分が 1 点で交わることを示すには、それぞれの直線の方程式を連立して解く方法もあるが、対称性が高い本問のような図形では、「対称な形の式で表される点（ここでは $\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}$）」を自ら設定し、それがすべての線分上に存在することを示すアプローチが非常に強力である。この点は4つの頂点に等しい質量を置いたときの重心に対応しており、四面体の重心など空間図形でも全く同じ論理が通用する。