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京都大学 1991年文系第3問解説

方針・初手

四面体の問題において、各頂点の位置ベクトルをどう設定するかが計算量を左右する。 1つの頂点を始点とし、他の3頂点へ向かう独立な3つのベクトルを基底としてすべてを表現するのが定石のアプローチである。問題文の「3組の対辺が互いに垂直」という条件を内積を用いて数式化し、重心と各中点間の距離の2乗を計算して比較する。また、「重心を中心とする」という結論に直結させるため、四面体の重心を原点に設定すると、対称性が高まり非常にエレガントに解くことができる（解法2）。

解法1

四面体 $V$ の頂点を $\text{A}, \text{B}, \text{C}, \text{D}$ とする。頂点 $\text{A}$ を始点とし、位置ベクトルを $\overrightarrow{AB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AC} = \vec{c}$, $\overrightarrow{AD} = \vec{d}$ とおく。

「3組の対辺が互いに垂直である」という条件より、以下の内積が $0$ となる。

$$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0 \iff \vec{b} \cdot (\vec{d} - \vec{c}) = 0 \iff \vec{b} \cdot \vec{d} = \vec{b} \cdot \vec{c} $$

$$ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0 \iff \vec{c} \cdot (\vec{d} - \vec{b}) = 0 \iff \vec{c} \cdot \vec{d} = \vec{b} \cdot \vec{c} $$

$$ \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \iff \vec{d} \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0 \iff \vec{c} \cdot \vec{d} = \vec{b} \cdot \vec{d} $$

したがって、これらの内積はすべて等しくなるため、実数 $k$ を用いて次のように表せる。

$$ \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{d} = \vec{d} \cdot \vec{b} = k \quad \cdots (*) $$

四面体の重心 $\text{G}$ の位置ベクトル $\vec{g}$ は、

$$ \vec{g} = \frac{\vec{0} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4} = \frac{1}{4}(\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}) $$

である。次に、辺 $\text{AB}, \text{CD}, \text{AC}, \text{BD}, \text{AD}, \text{BC}$ の中点をそれぞれ $\text{M}_1, \text{M}_2, \text{M}_3, \text{M}_4, \text{M}_5, \text{M}_6$ とすると、それぞれの位置ベクトルは以下のようになる。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AM_1} &= \frac{1}{2}\vec{b}, & \overrightarrow{AM_2} &= \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d}) \\ \overrightarrow{AM_3} &= \frac{1}{2}\vec{c}, & \overrightarrow{AM_4} &= \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{d}) \\ \overrightarrow{AM_5} &= \frac{1}{2}\vec{d}, & \overrightarrow{AM_6} &= \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c}) \end{aligned} $$

重心 $\text{G}$ から各中点までの距離の2乗を計算する。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{GM_1}|^2 &= \left| \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{4}(\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}) \right|^2 \\ &= \frac{1}{16} | \vec{b} - \vec{c} - \vec{d} |^2 \\ &= \frac{1}{16} (|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + |\vec{d}|^2 - 2\vec{b}\cdot\vec{c} - 2\vec{b}\cdot\vec{d} + 2\vec{c}\cdot\vec{d}) \end{aligned} $$

ここで、$(*)$ より $\vec{b}\cdot\vec{c} = \vec{c}\cdot\vec{d} = \vec{b}\cdot\vec{d} = k$ を代入すると、

$$ |\overrightarrow{GM_1}|^2 = \frac{1}{16} (|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + |\vec{d}|^2 - 2k - 2k + 2k) = \frac{1}{16} (|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + |\vec{d}|^2 - 2k) $$

となる。同様に、他の中点についても距離の2乗を計算する。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{GM_2}|^2 &= \frac{1}{16} |-\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}|^2 \\ &= \frac{1}{16} (|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + |\vec{d}|^2 - 2\vec{b}\cdot\vec{c} - 2\vec{b}\cdot\vec{d} + 2\vec{c}\cdot\vec{d}) \\ &= \frac{1}{16} (|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + |\vec{d}|^2 - 2k) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{GM_3}|^2 &= \frac{1}{16} |-\vec{b} + \vec{c} - \vec{d}|^2 = \frac{1}{16} (|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + |\vec{d}|^2 - 2\vec{b}\cdot\vec{c} + 2\vec{b}\cdot\vec{d} - 2\vec{c}\cdot\vec{d}) = \frac{1}{16} (|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + |\vec{d}|^2 - 2k) \\ |\overrightarrow{GM_4}|^2 &= \frac{1}{16} |\vec{b} - \vec{c} + \vec{d}|^2 = \frac{1}{16} (|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + |\vec{d}|^2 - 2\vec{b}\cdot\vec{c} + 2\vec{b}\cdot\vec{d} - 2\vec{c}\cdot\vec{d}) = \frac{1}{16} (|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + |\vec{d}|^2 - 2k) \\ |\overrightarrow{GM_5}|^2 &= \frac{1}{16} |-\vec{b} - \vec{c} + \vec{d}|^2 = \frac{1}{16} (|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + |\vec{d}|^2 + 2\vec{b}\cdot\vec{c} - 2\vec{b}\cdot\vec{d} - 2\vec{c}\cdot\vec{d}) = \frac{1}{16} (|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + |\vec{d}|^2 - 2k) \\ |\overrightarrow{GM_6}|^2 &= \frac{1}{16} |\vec{b} + \vec{c} - \vec{d}|^2 = \frac{1}{16} (|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + |\vec{d}|^2 + 2\vec{b}\cdot\vec{c} - 2\vec{b}\cdot\vec{d} - 2\vec{c}\cdot\vec{d}) = \frac{1}{16} (|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + |\vec{d}|^2 - 2k) \end{aligned} $$

以上より、$|\overrightarrow{GM_1}|^2 = |\overrightarrow{GM_2}|^2 = |\overrightarrow{GM_3}|^2 = |\overrightarrow{GM_4}|^2 = |\overrightarrow{GM_5}|^2 = |\overrightarrow{GM_6}|^2$ が成り立つ。重心 $\text{G}$ から各辺の中点までの距離がすべて等しいため、各辺の中点は $\text{G}$ を中心とする1つの球面上にある。

解法2

四面体の重心を原点 $\text{O}$ とする。頂点 $\text{A}, \text{B}, \text{C}, \text{D}$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ とすると、重心の定義より

$$ \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = \vec{0} \quad \cdots (1) $$

が成り立つ。辺 $\text{AB}$ と辺 $\text{CD}$ の中点の位置ベクトルは、それぞれ $\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}, \frac{\vec{c}+\vec{d}}{2}$ である。 (1) より $\vec{c}+\vec{d} = -(\vec{a}+\vec{b})$ であるから、

$$ \left| \frac{\vec{c}+\vec{d}}{2} \right|^2 = \left| \frac{-(\vec{a}+\vec{b})}{2} \right|^2 = \left| \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} \right|^2 $$

となり、重心から対辺の中点までの距離は常に等しい。同様に、辺 $\text{AC}$ と $\text{BD}$ の中点、辺 $\text{AD}$ と $\text{BC}$ の中点までの距離もそれぞれ等しい。あとは、重心から辺 $\text{AB}$ の中点までの距離と、辺 $\text{AC}$ の中点までの距離が等しいことを示せばよい。すなわち、$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |\vec{a}+\vec{c}|^2$ を示す。

条件 $\overrightarrow{AD} \perp \overrightarrow{BC}$ より、

$$ (\vec{d} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0 $$

(1) より $\vec{d} = -(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ である。これを代入する。

$$ \begin{aligned} \{ -(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - \vec{a} \} \cdot (\vec{c} - \vec{b}) &= 0 \\ -(2\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) &= 0 \\ (2\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) &= 0 \end{aligned} $$

これを展開する。

$$ 2\vec{a}\cdot\vec{b} - 2\vec{a}\cdot\vec{c} + |\vec{b}|^2 - \vec{b}\cdot\vec{c} + \vec{c}\cdot\vec{b} - |\vec{c}|^2 = 0 $$

$\vec{b}\cdot\vec{c}$ の項が相殺され、次のように整理できる。

$$ 2\vec{a}\cdot\vec{b} - 2\vec{a}\cdot\vec{c} + |\vec{b}|^2 - |\vec{c}|^2 = 0 $$

両辺に $|\vec{a}|^2$ を加えると、

$$ |\vec{a}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{c} + |\vec{c}|^2 $$

$$ |\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a} + \vec{c}|^2 $$

よって、重心から辺 $\text{AB}$ の中点と辺 $\text{AC}$ の中点までの距離は等しい。対称性より、他の隣接する辺の中点への距離も同様に等しいことが示される。したがって、重心から6つの辺の中点までの距離はすべて等しく、題意は示された。

解説

空間ベクトルの基本技術が問われる良問である。解法1は、1つの頂点を始点とする3つの基本ベクトルを設定し、機械的に計算を進める定石のアプローチである。「対辺が垂直」という条件が内積の対称な関係式に帰着することを見抜ければ、最後まで淀みなく計算できる。解法2は、問題文の「重心を中心とする」という文言から逆算して、重心を原点に設定するアプローチである。重心を原点にとることで $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}=\vec{0}$ という強力な条件式が使え、対辺の中点が原点対称な位置にあることが直ちにわかるため、計算量が劇的に削減される。入試本番では、このように図形的な特徴を見抜いて適切な始点を設定できるかが時間短縮の鍵となる。