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京都大学 1993年文系第1問解説

方針・初手

$t = \cos x$ とおき、与えられた関数を $t$ の2次関数に帰着させます。$x$ がすべての実数値をとるとき、$t$ のとりうる値の範囲は $-1 \leqq t \leqq 1$ となります。「すべての $x$ に対して $-6 \leqq f(x) \leqq 6$ が成立する」という条件を、「$-1 \leqq t \leqq 1$ の範囲で、2次関数の最大値が $6$ 以下、かつ最小値が $-6$ 以上となる」という条件に読み替えます。その後、2次関数の軸の位置によって場合分けを行い、$a, b$ の満たすべき不等式を導出します。

解法1

$t = \cos x$ とおく。$x$ がすべての実数を動くとき、$t$ のとりうる値の範囲は

$$ -1 \leqq t \leqq 1 $$

である。 $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ を用いると、$f(x)$ は $t$ の関数として次のように表せる。これを $g(t)$ とおく。

$$ g(t) = 2t^2 - 1 + 4at + b = 2t^2 + 4at + b - 1 $$

条件は、区間 $-1 \leqq t \leqq 1$ における $g(t)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ としたとき、$M \leqq 6$ かつ $m \geqq -6$ が成り立つことである。 $g(t)$ を平方完成すると、

$$ g(t) = 2(t + a)^2 - 2a^2 + b - 1 $$

となるため、放物線 $y = g(t)$ の軸は $t = -a$ である。この軸の位置によって場合分けを行う。

(i)

$-a < -1$ すなわち $a > 1$ のとき

区間 $-1 \leqq t \leqq 1$ において、$g(t)$ は単調増加する。最大値は $M = g(1) = 4a + b + 1$ 最小値は $m = g(-1) = -4a + b + 1$ 条件 $M \leqq 6$ かつ $m \geqq -6$ より、

$$ 4a + b + 1 \leqq 6 \iff b \leqq -4a + 5 $$

かつ

$$ -4a + b + 1 \geqq -6 \iff b \geqq 4a - 7 $$

$a > 1$ と合わせて、この場合の条件は

$$ a > 1 \text{ かつ } 4a - 7 \leqq b \leqq -4a + 5 $$

(ii)

$-1 \leqq -a \leqq 1$ すなわち $-1 \leqq a \leqq 1$ のとき

最大値は区間の端点 $t = 1$ または $t = -1$ でとる。 $M = \max\{g(1), g(-1)\}$ であるため、条件 $M \leqq 6$ は $g(1) \leqq 6$ かつ $g(-1) \leqq 6$ と同値である。

$$ g(1) \leqq 6 \iff 4a + b + 1 \leqq 6 \iff b \leqq -4a + 5 $$

$$ g(-1) \leqq 6 \iff -4a + b + 1 \leqq 6 \iff b \leqq 4a + 5 $$

最小値は頂点でとる。 $m = g(-a) = -2a^2 + b - 1$ 条件 $m \geqq -6$ より、

$$ -2a^2 + b - 1 \geqq -6 \iff b \geqq 2a^2 - 5 $$

$-1 \leqq a \leqq 1$ と合わせて、この場合の条件は

$$ -1 \leqq a \leqq 1 \text{ かつ } 2a^2 - 5 \leqq b \leqq \min\{-4a + 5, 4a + 5\} $$

(iii)

$-a > 1$ すなわち $a < -1$ のとき

区間 $-1 \leqq t \leqq 1$ において、$g(t)$ は単調減少する。最大値は $M = g(-1) = -4a + b + 1$ 最小値は $m = g(1) = 4a + b + 1$ 条件 $M \leqq 6$ かつ $m \geqq -6$ より、

$$ -4a + b + 1 \leqq 6 \iff b \leqq 4a + 5 $$

かつ

$$ 4a + b + 1 \geqq -6 \iff b \geqq -4a - 7 $$

$a < -1$ と合わせて、この場合の条件は

$$ a < -1 \text{ かつ } -4a - 7 \leqq b \leqq 4a + 5 $$

以上（i）, （ii）, （iii）より、求める領域は以下の不等式系が表す領域である。

$$ \begin{cases} b \leqq -4a + 5 \quad (a \geqq 0 \text{ のとき}) \\ b \leqq 4a + 5 \quad (a < 0 \text{ のとき}) \end{cases} $$

かつ

$$ \begin{cases} b \geqq 4a - 7 \quad (a > 1 \text{ のとき}) \\ b \geqq 2a^2 - 5 \quad (-1 \leqq a \leqq 1 \text{ のとき}) \\ b \geqq -4a - 7 \quad (a < -1 \text{ のとき}) \end{cases} $$

図示するにあたり、境界線の交点を確認する。放物線 $b = 2a^2 - 5$ と直線 $b = 4a - 7$ の交点は、

$$ 2a^2 - 5 = 4a - 7 \iff 2(a - 1)^2 = 0 \iff a = 1 $$

より、点 $(1, -3)$ で接する。同様に、放物線 $b = 2a^2 - 5$ と直線 $b = -4a - 7$ の交点は点 $(-1, -3)$ で接する。直線 $b = -4a + 5$ と直線 $b = 4a + 5$ の交点は $(0, 5)$ である。直線 $b = -4a + 5$ と直線 $b = 4a - 7$ の交点は $\left(\frac{3}{2}, -1\right)$ である。直線 $b = 4a + 5$ と直線 $b = -4a - 7$ の交点は $\left(-\frac{3}{2}, -1\right)$ である。

求める範囲は、これらの境界線で囲まれた閉領域となる。

解説

三角関数を含む関数を、置換によって2次関数に帰着させる定石問題です。定義域が制限された2次関数が「常に特定の範囲に収まる」という条件は、その区間における「最大値」と「最小値」の条件に言い換えることができます。軸の位置による場合分けを丁寧に行うこと、また領域を図示する際には、境界となる放物線と直線がなめらかにつながる（接する）ことや、交点の座標を正確に求めて図に反映させることが重要です。