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京都大学 2004年文系第3問解説

方針・初手

求める交点を $P$ とおく。点 $P$ の位置ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ を決定するには、2つの条件を利用する。1つ目は、「点 $P$ は $\angle \mathrm{AOB}$ の2等分線上にある」という条件である。2つのベクトルの方向を揃えるために単位ベクトルを作り、その和をとることで二等分線の方向ベクトルが得られる。2つ目は、「点 $P$ は $B$ を中心とする半径 $\sqrt{10}$ の円上にある」という条件である。計算の準備として、あらかじめ内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めておく。

解法1

まず、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積を求める。

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\angle \mathrm{AOB}) = 3 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = 9 $$

求める交点を $P$ とし、その位置ベクトルを $\vec{p} = \overrightarrow{\mathrm{OP}}$ とおく。$\angle \mathrm{AOB}$ の二等分線の方向ベクトルは、$\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|} + \dfrac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \dfrac{\vec{a}}{3} + \dfrac{\vec{b}}{5}$ の方向であり、$15$ 倍した $5\vec{a} + 3\vec{b}$ を方向ベクトルとして採用する。

点 $P$ は $\angle \mathrm{AOB}$ の二等分線（半直線）上にあるため、実数 $k > 0$ を用いて

$$ \vec{p} = k(5\vec{a} + 3\vec{b}) $$

と表せる。点 $P$ が $B$ を中心とする半径 $\sqrt{10}$ の円上にあることから、

$$ |\vec{p} - \vec{b}|^2 = 10 $$

に $\vec{p} = k(5\vec{a} + 3\vec{b})$ を代入する。

$$ |5k\vec{a} + (3k - 1)\vec{b}|^2 = 10 $$

左辺を展開すると、

$$ 25k^2 |\vec{a}|^2 + 10k(3k - 1)(\vec{a} \cdot \vec{b}) + (3k - 1)^2 |\vec{b}|^2 = 10 $$

$|\vec{a}| = 3$、$|\vec{b}| = 5$、$\vec{a} \cdot \vec{b} = 9$ を代入して計算を進める。

$$ 225k^2 + 90k(3k - 1) + 25(3k - 1)^2 = 10 $$

$$ 225k^2 + 270k^2 - 90k + 225k^2 - 150k + 25 = 10 $$

$$ 720k^2 - 240k + 15 = 0 \implies 48k^2 - 16k + 1 = 0 $$

$$ (12k - 1)(4k - 1) = 0 $$

よって、$k = \dfrac{1}{12}, \dfrac{1}{4}$ となる。これらはともに $k > 0$ を満たす。

したがって、求める位置ベクトルは

$$ k = \frac{1}{12} \text{ のとき：} \quad \frac{5}{12}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} $$

$$ k = \frac{1}{4} \text{ のとき：} \quad \frac{5}{4}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b} $$

の2つである。

解説

平面ベクトルにおける基本的な図形条件の処理を問う問題である。「角の二等分線上の点」は、「$\vec{a}$ の単位ベクトルと $\vec{b}$ の単位ベクトルの和」を方向ベクトルとして実数倍で表すのが定石である。分母を払った $k(5\vec{a} + 3\vec{b})$ とおくと、その後の2乗の展開計算が分数にならずミスを防ぎやすい。

「円上の点」は距離の条件なので、始点を揃えて大きさの式にし、2乗して内積の計算に持ち込む。最終的に $k$ の2次方程式が得られ、正の解が2つ出てくることは、二等分線と円が2点で交わっている幾何学的な状況と正しく対応している。