トップ› 大阪大学› 2002年› 文系第3問

大阪大学 2002年文系第3問解説

方針・初手

問題で与えられた点やベクトルの関係を、基準となるベクトル $\vec{a}$ と $\vec{q}$ を用いて立式していく。円の中心を原点 $O$ とし、円上の点の位置ベクトルの大きさが $1$ であること（$|\vec{a}|=1$, $|\vec{q}|=1$）を活用する。

（1）は内分点の公式と、直径の両端という条件から $\vec{OB} = -\vec{a}$ であることを用いて $\vec{BR}$ を計算する。

（2）は $\vec{p}$ を $\vec{a}$ と $\vec{q}$ で表し、「$\vec{q} = \cdots$」の形に変形してから両辺の大きさをとることで、点 $P$ の軌跡（円の方程式）を導出する。

（3）は点 $A$ が円 $K_2$ の内部にあるための条件である「（円の中心と点 $A$ との距離）$<$（半径）」の不等式を解く。

解法1

(1)

点 $R$ は線分 $QA$ を $1:2$ に内分する点であるから、その位置ベクトルは以下のように表せる。

$$ \vec{OR} = \frac{2\vec{OQ} + 1\vec{OA}}{1+2} = \frac{2\vec{q} + \vec{a}}{3} $$

（$Q=A$ のときも $\vec{q}=\vec{a}$ より $\vec{OR}=\vec{a}$ となり成立する）

また、線分 $AB$ は原点 $O$ を中心とする円 $K_1$ の直径であるから、点 $B$ は点 $A$ と原点に関して対称な位置にある。したがって、$\vec{OB} = -\vec{a}$ である。

これらを用いて、$\vec{BR}$ を求める。

$$ \vec{BR} = \vec{OR} - \vec{OB} = \frac{2\vec{q} + \vec{a}}{3} - (-\vec{a}) = \frac{2\vec{q} + 4\vec{a}}{3} $$

(2)

与えられた $\vec{OP} = \vec{p} = \vec{AQ} + k\vec{BR}$ に、(1) で求めた $\vec{BR}$ と $\vec{AQ} = \vec{q} - \vec{a}$ を代入する。

$$ \vec{OP} = \vec{q} - \vec{a} + k\left(\frac{2\vec{q} + 4\vec{a}}{3}\right) $$

$\vec{q}$ と $\vec{a}$ について整理する。

$$ \vec{OP} = \left( 1 + \frac{2}{3}k \right)\vec{q} + \left( \frac{4}{3}k - 1 \right)\vec{a} $$

点 $Q$ は半径 $1$ の円 $K_1$ 周上の点であるから、$|\vec{q}| = 1$ を満たしながら動く。そこで、上の式を $\vec{q}$ について解く形に変形する。

$$ \vec{OP} - \left( \frac{4}{3}k - 1 \right)\vec{a} = \left( 1 + \frac{2}{3}k \right)\vec{q} $$

両辺の絶対値をとる。

$$ \left| \vec{OP} - \left( \frac{4}{3}k - 1 \right)\vec{a} \right| = \left| 1 + \frac{2}{3}k \right| |\vec{q}| $$

$|\vec{q}| = 1$ であり、また問題の条件より $k > 0$ であるから $1 + \frac{2}{3}k > 0$ となる。

$$ \left| \vec{OP} - \left( \frac{4}{3}k - 1 \right)\vec{a} \right| = \frac{2}{3}k + 1 $$

この式は、点 $P$ が位置ベクトル $\left( \frac{4}{3}k - 1 \right)\vec{a}$ を中心とする半径 $\frac{2}{3}k + 1$ の円を描くことを示している。したがって、図形 $K_2$ は円である。

(3)

円 $K_2$ の内部に点 $A$ が含まれるための条件は、円 $K_2$ の中心と点 $A$ との距離が、円 $K_2$ の半径よりも小さいことである。

円 $K_2$ の中心を $C$ とすると、$\vec{OC} = \left( \frac{4}{3}k - 1 \right)\vec{a}$ であり、点 $A$ の位置ベクトルは $\vec{a}$ である。したがって、求める条件は以下の不等式で表される。

$$ |\vec{a} - \vec{OC}| < \frac{2}{3}k + 1 $$

左辺の絶対値の中身を計算する。

$$ \vec{a} - \vec{OC} = \vec{a} - \left( \frac{4}{3}k - 1 \right)\vec{a} = \left( 2 - \frac{4}{3}k \right)\vec{a} $$

$|\vec{a}| = 1$ であるから、絶対値は定数部分にのみかかる。

$$ \left| 2 - \frac{4}{3}k \right| < \frac{2}{3}k + 1 $$

この絶対値不等式を解く。

$$ -\left( \frac{2}{3}k + 1 \right) < 2 - \frac{4}{3}k < \frac{2}{3}k + 1 $$

左側の不等式より、

$$ -\frac{2}{3}k - 1 < 2 - \frac{4}{3}k $$

$$ \frac{2}{3}k < 3 $$

$$ k < \frac{9}{2} $$

右側の不等式より、

$$ 2 - \frac{4}{3}k < \frac{2}{3}k + 1 $$

$$ 1 < 2k $$

$$ k > \frac{1}{2} $$

これらを同時に満たす範囲は $\frac{1}{2} < k < \frac{9}{2}$ である。これは $k>0$ という前提条件も満たしている。

解説

ベクトルを用いた軌跡の問題の典型的な構成である。「動く点の位置ベクトル（ここでは $\vec{q}$）の大きさが一定」という条件を用いるために、ベクトル方程式を $\vec{q} = \cdots$ または $($係数$)\vec{q} = \cdots$ の形に変形し、両辺の大きさをとるという処理が極めて重要である。

(3) における「点が円の内部にある条件」は、図形的な意味（中心からの距離と半径の大小関係）をそのまま数式に翻訳すればよい。絶対値を含む不等式が現れるが、定義に従って処理すれば平易に解くことができる。