京都大学 2004年 文系 第2問 解説

方針・初手

定積分 $\int_{-1}^{1} f(x) dx$ を、積分区間を $[-1, 0]$ と $[0, 1]$ の2つに分割して評価する。関数の具体的な式が与えられておらず、「グラフが右図のようになっている」と指定されているため、図に引かれた補助線（格子状の破線）に着目し、それぞれの区間における $f(x)$ のとりうる値の範囲（下限）を読み取って定積分の不等式を作る。

解法1

定積分を次のように2つの区間に分割する。

$$ \int_{-1}^{1} f(x) dx = \int_{-1}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{1} f(x) dx $$

(i) 区間 $-1 \leqq x \leqq 0$ について

グラフは点 $(-1, 1)$ と点 $(0, 1)$ を通っており、この区間全体にわたって $f(x) \geqq 1$ が成り立つ。

両辺を $-1$ から $0$ まで積分すると、

$$ \int_{-1}^{0} f(x) dx \geqq \int_{-1}^{0} 1 \, dx = 1 $$

(ii) 区間 $0 \leqq x \leqq 1$ について

グラフは点 $(0, 1)$ から点 $(1, -2)$ まで結ばれており、この区間全体にわたって $f(x) \geqq -2$ が成り立つ。

両辺を $0$ から $1$ まで積分すると、

$$ \int_{0}^{1} f(x) dx \geqq \int_{0}^{1} (-2) \, dx = -2 $$

(i), (ii) の評価を足し合わせると、

$$\begin{aligned} \int_{-1}^{1} f(x) dx &= \int_{-1}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{1} f(x) dx \\ &\geqq 1 + (-2) \\ &= -1 \end{aligned}$$

となり、$\int_{-1}^{1} f(x) dx \geqq -1$ が示された。　（証明終）

解説

関数の具体的な式を用いず、「グラフの概形」のみから定積分の不等式を証明する問題である。定積分が「符号付き面積」であることを踏まえると、本問が要求しているのは「曲線と長方形の面積比較」であると気づける。

図にわざわざ描かれた $x = -1, 0, 1$ および $y = 1, -1, -2$ の破線は単なる背景ではなく、面積を評価するための「枠」として機能している。

• $[-1, 0]$ の部分の面積は、底辺 $1$、高さ $1$ の長方形の面積以上
• $[0, 1]$ の部分の符号付き面積は、底辺 $1$、高さ $2$ の長方形が $x$ 軸下方に作る面積（$-2$）以上

これらを足し合わせることで、目的の不等式が極めて簡潔に導かれる。

答え

略（解法1の証明を参照）