京都大学 2006年 文系 第1問 解説

方針・初手

3つの図形が1点で交わる（共点である）ということは、これら3つの図形の方程式を同時に満たす実数 $(x, y)$ の組が存在するということです。連立方程式を解く要領で $y$ を消去し、$x$ についての2つの2次方程式が共通の実数解を持つ条件を考えるか、先に2直線の交点を求めてそれが放物線上にある条件を考えます。

解法1

放物線 $C$ と2直線 $l_1, l_2$ が共通の交点を持つとする。その交点の $x$ 座標を $x$ とおくと、この $x$ は以下の2つの方程式を同時に満たす実数である。

$$ x^2 = px - 1 \iff x^2 - px + 1 = 0 \quad \cdots \text{①} $$

$$ x^2 = -x - p + 4 \iff x^2 + x + p - 4 = 0 \quad \cdots \text{②} $$

①$-$②より $x^2$ を消去すると、

$$ -(p+1)x - p + 5 = 0 \quad \cdots \text{③} $$

ここで $p = -1$ とすると③は $0 \cdot x = 6$ となり実数解が存在しないため、$p \neq -1$ である。

③より $x = \dfrac{-p+5}{p+1}$ となる。この $x$ が①を満たすので代入して、

$$ \left( \frac{-p+5}{p+1} \right)^2 - p \left( \frac{-p+5}{p+1} \right) + 1 = 0 $$

両辺に $(p+1)^2\ (\neq 0)$ を掛けて整理する。

$$ (-p+5)^2 - p(-p+5)(p+1) + (p+1)^2 = 0 $$

$$ p^2 - 10p + 25 + p^3 - 4p^2 - 5p + p^2 + 2p + 1 = 0 $$

$$ p^3 - 2p^2 - 13p + 26 = 0 $$

因数分解する。

$$ p^2(p - 2) - 13(p - 2) = 0 \implies (p - 2)(p^2 - 13) = 0 $$

$p$ は実数であるから、

$$ p = 2, \pm\sqrt{13} $$

解法2

2直線 $l_1$ と $l_2$ の交点を求め、それが放物線 $C$ 上にある条件を考える。

$l_1: y = px - 1$ と $l_2: y = -x - p + 4$ の交点の $x$ 座標は、

$$ px - 1 = -x - p + 4 \implies (p+1)x = -p + 5 $$

$p = -1$ のとき交点を持たないため不適。よって $p \neq -1$ であり、$x = \dfrac{-p+5}{p+1}$。

この交点が $C: y = x^2$ 上にあるので代入して整理すると、解法1と同様に

$$ p^3 - 2p^2 - 13p + 26 = 0 \implies (p - 2)(p^2 - 13) = 0 $$

したがって、

$$ p = 2, \pm\sqrt{13} $$

解説

複数の図形が1点で交わる（共点）条件を求める問題です。2次方程式が2つ出てきますが、最高次の $x^2$ を消去して1次方程式を作ることで $x$ を $p$ で表すことができます。

記述の際、$x$ の係数に文字が含まれる場合に $0$ で割ることを避けるための「$p+1 \neq 0$」の確認を漏らさないようにしましょう。後半の3次方程式の因数分解は、因数定理を用いなくても共通因数をくくることで見抜ける形になっています。

答え

$$ p = 2, \pm\sqrt{13} $$