京都大学 2014年 理系 第4問 解説

方針・初手

• 与えられた不等式を $f(x)$ についての 3 次不等式とみて因数分解し、$f(x)$ のとるべき値の範囲を求める。
• $x \to \pm\infty$ のときの $f(x)$ の極限と連続性（中間値の定理）から、$f(x) \geq 2$ の可能性を論理的に排除する。
• すべての実数 $x$ で $-1 \leq f(x) \leq 1$ が成立する条件を、判別式を用いて求める。

解法1

与えられた不等式を変形すると、

$$ f(x)^3 - 2f(x)^2 - f(x) + 2 \geq 0 $$

$$ f(x)^2(f(x)-2) - (f(x)-2) \geq 0 \implies (f(x)-2)(f(x)-1)(f(x)+1) \geq 0 $$

これを満たす $f(x)$ の範囲は、

$$ -1 \leq f(x) \leq 1 \quad \text{または} \quad f(x) \geq 2 \quad \cdots (*) $$

ここで $f(x) = \dfrac{ax+b}{x^2+x+1}$ について、分母 $x^2+x+1 = \left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4} > 0$ であるから $f(x)$ はすべての実数 $x$ で連続であり、

$$ \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0 $$

仮に $f(x_0) \geq 2$ となる実数 $x_0$ が存在するとする。$f$ は連続であり $f(x) \to 0$ であるから、中間値の定理により $f$ は $0$ と $f(x_0)$ の間のすべての値をとる。したがって $1 < f(x) < 2$ を満たす $x$ が存在し、条件 $(*)$ に反する。

ゆえに、$(*)$ がすべての実数 $x$ で成り立つための条件は、

$$ -1 \leq f(x) \leq 1 \quad \text{（すべての実数 $x$ で）} $$

と同値である。分母は常に正であるから、この条件は

$$ -(x^2+x+1) \leq ax+b \leq x^2+x+1 \quad \text{（すべての実数 $x$ で）} $$

すなわち、

$$ \begin{cases} x^2+(a+1)x+(b+1) \geq 0 \quad \cdots \textcircled{1} \\ x^2-(a-1)x+(-b+1) \geq 0 \quad \cdots \textcircled{2} \end{cases} $$

がすべての実数 $x$ で成り立つこととなる。

$\textcircled{1}$ の判別式 $D_1 \leq 0$：

$$ D_1 = (a+1)^2 - 4(b+1) \leq 0 \implies b \geq \frac{1}{4}(a^2+2a-3) = \frac{1}{4}(a+1)^2 - 1 \quad \cdots \textcircled{3} $$

$\textcircled{2}$ の判別式 $D_2 \leq 0$：

$$ D_2 = (a-1)^2 - 4(-b+1) \leq 0 \implies b \leq -\frac{1}{4}(a^2-2a-3) = -\frac{1}{4}(a-1)^2 + 1 \quad \cdots \textcircled{4} $$

2 つの境界曲線の交点を求める。$\textcircled{3}$ と $\textcircled{4}$ が等号となるとき、

$$ \frac{1}{4}(a^2+2a-3) = -\frac{1}{4}(a^2-2a-3) \implies 2a^2 = 6 \implies a = \pm\sqrt{3} $$

• $a = \sqrt{3}$ のとき $b = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
• $a = -\sqrt{3}$ のとき $b = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

下側の放物線（下に凸）の頂点は $(-1, -1)$、上側の放物線（上に凸）の頂点は $(1, 1)$。

求める領域は $\textcircled{3}$ かつ $\textcircled{4}$、すなわち 2 本の放物線で囲まれた閉領域（境界を含む）である。

解説

不等式を因数分解して $f(x)$ のとりうる値の条件を導くところまでは標準的だが、その後に「$f(x) \geq 2$ の可能性を論理的に排除できるか」が最大のポイントとなる。

「$f(x) \to 0$（$x \to \pm\infty$）」と「連続関数への中間値の定理の適用」を明記して厳密に論証することが重要であり、これを省略すると減点対象となる可能性が高い。

後半は、分母が常に正であることを用いて絶対不等式を 2 本の判別式条件に帰着させる典型的な処理である。

答え

点 $(a, b)$ の範囲は、以下の連立不等式が表す領域（境界を含む）：

$$ \begin{cases} b \geq \dfrac{1}{4}(a^2+2a-3) \\ b \leq -\dfrac{1}{4}(a^2-2a-3) \end{cases} $$

上に凸の放物線 $b = -\dfrac{1}{4}(a^2-2a-3)$（頂点 $(1, 1)$）と下に凸の放物線 $b = \dfrac{1}{4}(a^2+2a-3)$（頂点 $(-1, -1)$）で囲まれた閉領域。交点は $\!\left(\sqrt{3},\, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ と $\!\left(-\sqrt{3},\, -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$。