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京都大学 1981年文系第3問解説

方針・初手

点 $P$ を文字でおき、放物線 $C$ 上の点における接線が点 $P$ を通るという条件から、接点 $Q, R$ の $x$ 座標に関する2次方程式を立てる。その2次方程式の解と係数の関係を用いて接点の $x$ 座標の差（$r-q$）を求め、面積の計算にはいわゆる「$\frac{1}{6}$ 公式」を利用して計算量を減らす。計算結果が点 $P$ の座標を含まない定数になることを示せば証明完了である。

解法1

点 $P$ は放物線 $C_a : y = x^2 - a^2$ 上にあるので、その座標を $(p, p^2 - a^2)$ とおく。放物線 $C : y = x^2$ について、$y' = 2x$ であるから、$C$ 上の点 $(t, t^2)$ における接線の方程式は

$$ y - t^2 = 2t(x - t) \iff y = 2tx - t^2 $$

となる。この接線が点 $P(p, p^2 - a^2)$ を通るための条件は、

$$ p^2 - a^2 = 2tp - t^2 \iff t^2 - 2pt + p^2 - a^2 = 0 \quad \cdots \text{①} $$

点 $P$ から $C$ に引いた2本の接線の接点 $Q, R$ の $x$ 座標をそれぞれ $q, r \ (q < r)$ とおくと、$q, r$ は $t$ についての2次方程式 ① の2つの実数解である。解と係数の関係より、

$$ q + r = 2p $$

$$ qr = p^2 - a^2 $$

が成り立つ。これを用いて、$(r - q)^2$ を計算すると、

$$ (r - q)^2 = (q + r)^2 - 4qr = (2p)^2 - 4(p^2 - a^2) = 4p^2 - 4p^2 + 4a^2 = 4a^2 $$

$a > 0$ かつ $r > q$ であるから、

$$ r - q = 2a \quad \cdots \text{②} $$

を得る。

次に、線分 $QR$ と $C$ とで囲まれた部分の面積 $S$ を求める。 2点 $Q(q, q^2), R(r, r^2)$ を通る直線 $QR$ の方程式は、

$$ y - q^2 = \frac{r^2 - q^2}{r - q}(x - q) \iff y = (q+r)(x - q) + q^2 \iff y = (q+r)x - qr $$

である。区間 $q \leqq x \leqq r$ において、線分 $QR$ は放物線 $C$ の上側（または境界上）にあるため、面積 $S$ は

$$ S = \int_q^r \{ (q+r)x - qr - x^2 \} dx = -\int_q^r (x^2 - (q+r)x + qr) dx $$

ここで、被積分関数は $(x-q)(x-r)$ と因数分解できるため、

$$ S = -\int_q^r (x - q)(x - r) dx $$

定積分公式 $\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta) dx = -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$ を用いると、

$$ S = \frac{1}{6}(r - q)^3 $$

となる。これに ② の $r - q = 2a$ を代入して、

$$ S = \frac{1}{6}(2a)^3 = \frac{8}{6}a^3 = \frac{4}{3}a^3 $$

この結果は定数 $a$ のみで表されており、点 $P$ の $x$ 座標である $p$ を含まない。したがって、線分 $QR$ と $C$ とで囲まれた部分の面積は、点 $P$ の取り方に無関係であることが示された。

解説

放物線の外の点から引いた2本の接線の接点を結ぶ線分（極線）と放物線とで囲まれた面積についての有名問題である。「接線を文字でおいてそれが通る点から接点を求める」アプローチと「解と係数の関係」、「$\frac{1}{6}$ 公式」という、2次関数と積分の相性の良いテクニックが詰まっている。この一連の処理は難関大入試で頻出の定石なので、何も見ずにスラスラと式変形できるようになるまで練習しておきよう。