トップ› 京都大学› 1965年› 理系第5問

京都大学 1965年理系第5問解説

方針・初手

微分係数の定義を正確に記述し、その定義式に基づいて極限を計算する。

極限の計算では、まず「$\frac{0}{0}$」の不定形を解消する。（ア）は通分して因数分解し、（イ）は分子を有理化して処理する。

解法1

関数 $f(x)$ の $x=a$ における微分係数 $f'(a)$ の定義は、以下の通りである。

$$ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} $$

（または $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ と記述してもよい）

(ア)

$f(x) = \frac{1}{x^3}$ とする。$x=1$ における微分係数は、定義にしたがって次のように計算できる。ここでは計算が簡潔になる $x \to 1$ の極限を用いる。

$$ \begin{aligned} f'(1) &= \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \\ &= \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^3} - 1}{x - 1} \\ &= \lim_{x \to 1} \frac{1 - x^3}{x^3(x - 1)} \\ &= \lim_{x \to 1} \frac{-(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x^3(x - 1)} \\ &= \lim_{x \to 1} \frac{-(x^2 + x + 1)}{x^3} \\ &= \frac{-(1^2 + 1 + 1)}{1^3} \\ &= -3 \end{aligned} $$

(イ)

$g(x) = \sqrt{1+x+x^2}$ とする。$x=1$ における微分係数は、定義にしたがって次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} g'(1) &= \lim_{x \to 1} \frac{g(x) - g(1)}{x - 1} \\ &= \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{1+x+x^2} - \sqrt{3}}{x - 1} \\ &= \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{1+x+x^2} - \sqrt{3})(\sqrt{1+x+x^2} + \sqrt{3})}{(x - 1)(\sqrt{1+x+x^2} + \sqrt{3})} \\ &= \lim_{x \to 1} \frac{(1+x+x^2) - 3}{(x - 1)(\sqrt{1+x+x^2} + \sqrt{3})} \\ &= \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x - 2}{(x - 1)(\sqrt{1+x+x^2} + \sqrt{3})} \\ &= \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 1)(\sqrt{1+x+x^2} + \sqrt{3})} \\ &= \lim_{x \to 1} \frac{x + 2}{\sqrt{1+x+x^2} + \sqrt{3}} \\ &= \frac{1 + 2}{\sqrt{1+1+1^2} + \sqrt{3}} \\ &= \frac{3}{2\sqrt{3}} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} $$

解説

微分係数の定義を正確に理解し、それを用いて自力で極限計算を実行できるかを問う基本問題である。

定義式には $h \to 0$ とするものと $x \to a$ とするものがあるが、どちらを用いても導かれる結果は当然同じになる。ただし、関数の形によっては一方の式を用いた方が計算量が減り、見通しが良くなる場合がある。本解答では、極限をとる過程での因数分解が直感的に分かりやすい $x \to a$ の定義式を採用して計算を行った。