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北海道大学 1965年文系第8問解説

方針・初手

(1) は、曲線上の2点 $P, Q$ における法線の方程式を立て、その交点の座標を連立方程式から求めた後、$Q \to P$ の極限をとるという標準的な計算問題である。

(2) は、(1) で求めた点 $C$ と点 $P$ の2点間の距離の2乗を $a$ の関数として表し、微分法を用いてその最小値を求める。

解法1

(1) $f(x) = \frac{1}{3}x^3$ とすると、$f'(x) = x^2$ である。

点 $P\left(a, \frac{1}{3}a^3\right)$ における接線の傾きは $a^2$ である。

$a \neq 0$ より接線の傾きは $0$ ではないため、点 $P$ における法線の方程式は、

$$ y - \frac{1}{3}a^3 = -\frac{1}{a^2}(x - a) $$

$$ y = -\frac{1}{a^2}x + \frac{1}{a} + \frac{1}{3}a^3 $$

点 $Q$ の $x$ 座標を $b$ とする。$P, Q$ は相異なる点であるから $b \neq a$ である。また、点 $Q$ が点 $P$ に限りなく近づく極限を考えるため、$b \neq 0$ としてよい。

点 $Q$ における法線の方程式は同様にして、

$$ y = -\frac{1}{b^2}x + \frac{1}{b} + \frac{1}{3}b^3 $$

これら2つの法線の交点 $R$ の $x$ 座標を求めるため、$y$ を消去すると、

$$ -\frac{1}{a^2}x + \frac{1}{a} + \frac{1}{3}a^3 = -\frac{1}{b^2}x + \frac{1}{b} + \frac{1}{3}b^3 $$

$$ \left( \frac{1}{b^2} - \frac{1}{a^2} \right) x = \frac{1}{b} - \frac{1}{a} + \frac{1}{3}(b^3 - a^3) $$

$$ \frac{a^2 - b^2}{a^2 b^2} x = \frac{a - b}{ab} + \frac{1}{3}(b - a)(b^2 + ab + a^2) $$

$a \neq b$ であるから、両辺を $a - b$ で割ると、

$$ \frac{a + b}{a^2 b^2} x = \frac{1}{ab} - \frac{1}{3}(a^2 + ab + b^2) $$

点 $Q$ が点 $P$ に限りなく近づくとき、$b \to a$ である。この極限において、$a \neq 0$ より左辺の係数は $\frac{2a}{a^4} = \frac{2}{a^3} \neq 0$ となる。交点 $R$ の $x$ 座標の極限値を $X$ とすると、

$$ \frac{2}{a^3} X = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{3}(3a^2) $$

$$ \frac{2}{a^3} X = \frac{1 - a^4}{a^2} $$

$$ X = \frac{a^3}{2} \cdot \frac{1 - a^4}{a^2} = \frac{a(1 - a^4)}{2} = \frac{a}{2} - \frac{a^5}{2} $$

交点 $R$ の $y$ 座標の極限値を $Y$ とすると、点 $R$ は点 $P$ における法線上を動いて極限に達するため、点 $C(X, Y)$ も法線上にある。

$$ Y = -\frac{1}{a^2} X + \frac{1}{a} + \frac{1}{3}a^3 $$

$$ Y = -\frac{1}{a^2} \left( \frac{a - a^5}{2} \right) + \frac{1}{a} + \frac{1}{3}a^3 $$

$$ Y = -\frac{1}{2a} + \frac{a^3}{2} + \frac{1}{a} + \frac{1}{3}a^3 = \frac{5}{6}a^3 + \frac{1}{2a} $$

以上より、点 $C$ の座標は $\left( \frac{a - a^5}{2}, \frac{5}{6}a^3 + \frac{1}{2a} \right)$ である。

(2) $PC$ の長さの2乗を計算する。

$$ \begin{aligned} PC^2 &= \left( \frac{a - a^5}{2} - a \right)^2 + \left( \frac{5}{6}a^3 + \frac{1}{2a} - \frac{1}{3}a^3 \right)^2 \\ &= \left( -\frac{a}{2} - \frac{a^5}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2}a^3 + \frac{1}{2a} \right)^2 \\ &= \frac{a^2}{4} (1 + a^4)^2 + \frac{1}{4a^2} (a^4 + 1)^2 \\ &= \frac{(1 + a^4)^2}{4} \left( a^2 + \frac{1}{a^2} \right) \\ &= \frac{(1 + a^4)^2}{4} \cdot \frac{a^4 + 1}{a^2} \\ &= \frac{(a^4 + 1)^3}{4a^2} \end{aligned} $$

ここで、$a^2 = t$ とおくと、$a \neq 0$ より $t > 0$ である。$t$ の関数 $g(t)$ を以下のように定める。

$$ g(t) = \frac{(t^2 + 1)^3}{4t} $$

$g(t)$ を $t$ で微分すると、

$$ \begin{aligned} g'(t) &= \frac{3(t^2 + 1)^2 \cdot 2t \cdot 4t - (t^2 + 1)^3 \cdot 4}{16t^2} \\ &= \frac{4(t^2 + 1)^2 \{ 6t^2 - (t^2 + 1) \}}{16t^2} \\ &= \frac{(t^2 + 1)^2 (5t^2 - 1)}{4t^2} \end{aligned} $$

$g'(t) = 0$ となるのは $5t^2 - 1 = 0$ のときであり、$t > 0$ より $t = \frac{1}{\sqrt{5}}$ である。

$t > 0$ における $g(t)$ の増減を調べると、$0 < t < \frac{1}{\sqrt{5}}$ のとき $g'(t) < 0$、$t > \frac{1}{\sqrt{5}}$ のとき $g'(t) > 0$ となる。したがって、$g(t)$ は $t = \frac{1}{\sqrt{5}}$ で極小かつ最小となる。

最小値は、

$$ g\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \frac{\left(\frac{1}{5} + 1\right)^3}{4 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}} = \frac{\left(\frac{6}{5}\right)^3}{\frac{4}{\sqrt{5}}} = \frac{216}{125} \cdot \frac{\sqrt{5}}{4} = \frac{54\sqrt{5}}{125} $$

$PC > 0$ であるから、$PC^2$ が最小のとき $PC$ も最小となる。

したがって、$PC$ の最小値は、

$$ \sqrt{\frac{54\sqrt{5}}{125}} = \frac{3\sqrt{6\sqrt{5}}}{5\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{30\sqrt{5}}}{25} $$