京都大学 1965年 理系 第6問 解説

方針・初手

積分区間に変数 $x$ が現れ、被積分関数が $(x-t)f(t)$ の形をしている定積分の方程式である。 $(x-t)f(t)$ を整理して積分の構造を見やすくし、その後に $x$ に関する関係を調べる。

解法1

与えられた等式

$$ \int_{1}^{x} (x-t)f(t)dt = x^4 - 2x^2 + 1 $$

を考える。

左辺を展開すると、

$$ \int_{1}^{x} (x-t)f(t)dt = \int_{1}^{x} \{ xf(t) - tf(t) \} dt $$

$$ = x \int_{1}^{x} f(t)dt - \int_{1}^{x} tf(t)dt $$

したがって、

$$ x \int_{1}^{x} f(t)dt - \int_{1}^{x} tf(t)dt = x^4 - 2x^2 + 1 $$

を得る。これを $x$ で微分する。左辺第1項には積の微分法、積分には微分積分学の基本定理を用いる。

$$ \frac{d}{dx} \left( x \int_{1}^{x} f(t)dt \right) - \frac{d}{dx} \left( \int_{1}^{x} tf(t)dt \right) = \frac{d}{dx} (x^4 - 2x^2 + 1) $$

$$ 1 \cdot \int_{1}^{x} f(t)dt + x \cdot f(x) - xf(x) = 4x^3 - 4x $$

よって、

$$ \int_{1}^{x} f(t)dt = 4x^3 - 4x $$

となる。さらに両辺をもう一度 $x$ で微分すると、

$$ f(x) = 12x^2 - 4 $$

したがって、求める整式は

$$ f(t) = 12t^2 - 4 $$

解説

定積分を含む関数方程式では、積分変数とそれ以外の文字を区別して読む。 本問では $(x-t)f(t)$ を $xf(t)-tf(t)$ と分けると、$x$ を積分の外へ出せる。そこから両辺を2回微分すれば、積分記号を外して $f(x)$ を直接求められる。 微分積分学の基本定理と積の微分法を組み合わせて処理する。

答え

$$ f(t) = 12t^2 - 4 $$