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京都大学 1973年理系第4問解説

方針・初手

外側の $n$ を括弧内に展開すると、各項が有限の値に収束する形になることに着目する。分子に含まれる無理式の極限は、分子の有理化を利用して求めるのが定石である。

解法1

求める極限値を $L$ とおく。

$$ L = \lim_{n \to \infty} n \left[ \frac{(\sqrt{n(n+1)} - n)^3}{n} - \frac{(\sqrt{n(n+1)} - (n+1))^3}{n+1} \right] $$

括弧の外にある $n$ を分配法則により中に入れると、次のように変形できる。

$$ L = \lim_{n \to \infty} \left\{ (\sqrt{n(n+1)} - n)^3 - \frac{n}{n+1} (\sqrt{n(n+1)} - (n+1))^3 \right\} $$

ここで、$a_n = \sqrt{n(n+1)} - n$、$b_n = \sqrt{n(n+1)} - (n+1)$ とおき、それぞれの極限を調べる。

まず、$a_n$ の極限は分子の有理化を用いて次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} a_n &= \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2+n} - n) \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2+n} - n)(\sqrt{n^2+n} + n)}{\sqrt{n^2+n} + n} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{(n^2+n) - n^2}{\sqrt{n^2+n} + n} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n\sqrt{1+\frac{1}{n}} + n} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}} + 1} \\ &= \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} \end{aligned} $$

次に、$b_n$ については、$b_n = \sqrt{n^2+n} - n - 1 = a_n - 1$ と表すことができるため、$a_n$ の極限を利用して以下のように求まる。

$$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} b_n &= \lim_{n \to \infty} (a_n - 1) \\ &= \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} \end{aligned} $$

さらに、第2項の係数部分の極限は以下の通りである。

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{n}} = 1 $$

以上より、与えられた式の各部分はすべて有限確定値に収束することがわかる。これらを $L$ の式に代入して極限値を計算する。

$$ \begin{aligned} L &= \lim_{n \to \infty} \left( a_n^3 - \frac{n}{n+1} b_n^3 \right) \\ &= \left(\frac{1}{2}\right)^3 - 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^3 \\ &= \frac{1}{8} - \left(-\frac{1}{8}\right) \\ &= \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4} \end{aligned} $$

解説

一見すると複雑な不定形に見えるが、外側の $n$ を分配法則で中に入れるだけで、各項が有限確定値に収束する形になることに気づけるかがポイントだ。

$\infty - \infty$ 型の不定形である $\sqrt{n(n+1)} - n$ の極限は頻出であり、分子の有理化を行うことで容易に求められる。また、もう一方の塊である $\sqrt{n(n+1)} - (n+1)$ の極限についても、前者の結果を利用して変形することで、計算量を大きく減らし計算ミスを防ぐことができる。