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京都大学 1974年理系第1問解説

方針・初手

与えられた2つの等式は、各角の $\cos$ と $\sin$ の和が $0$ であることを示している。求める値である角の差（$\beta - \alpha$ など）を作り出すための定石として、1つの角を移項してから両辺を2乗し、2つの式を足し合わせる手法が有効である。また、図形的な意味付け（ベクトルや複素数平面）を利用すると、条件式の幾何学的な意味を読み取ることで、角の関係を直感的に捉えやすくなる。

解法1

与えられた条件式は以下の通りである。

$$ \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0 \quad \cdots \text{(1)} $$

$$ \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 0 \quad \cdots \text{(2)} $$

(1), (2) において $\alpha$ を含む項を右辺に移項する。

$$ \cos \beta + \cos \gamma = -\cos \alpha $$

$$ \sin \beta + \sin \gamma = -\sin \alpha $$

両辺をそれぞれ2乗して足し合わせる。

$$ (\cos \beta + \cos \gamma)^2 + (\sin \beta + \sin \gamma)^2 = (-\cos \alpha)^2 + (-\sin \alpha)^2 $$

左辺を展開して整理すると、

$$ (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta) + (\cos^2 \gamma + \sin^2 \gamma) + 2(\cos \beta \cos \gamma + \sin \beta \sin \gamma) = 1 $$

三角関数の相互関係と加法定理より、

$$ 1 + 1 + 2\cos(\gamma - \beta) = 1 $$

$$ \cos(\gamma - \beta) = -\frac{1}{2} $$

同様に、(1), (2) から $\gamma$ を移項して2乗の和をとると、

$$ \cos(\beta - \alpha) = -\frac{1}{2} $$

(1), (2) から $\beta$ を移項して2乗の和をとると、

$$ \cos(\gamma - \alpha) = -\frac{1}{2} $$

条件 $0 \leqq \alpha < \beta < \gamma < 2\pi$ より、それぞれの角の差の範囲は、

$$ 0 < \beta - \alpha < 2\pi, \quad 0 < \gamma - \beta < 2\pi, \quad 0 < \gamma - \alpha < 2\pi $$

であるから、それぞれの方程式の解は以下のようになる。

$$ \beta - \alpha = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi $$

$$ \gamma - \beta = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi $$

$$ \gamma - \alpha = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi $$

ここで、$\gamma - \alpha = (\gamma - \beta) + (\beta - \alpha)$ である。

もし $\beta - \alpha = \frac{4}{3}\pi$ とすると、$\gamma - \beta > 0$ であるため $\gamma - \alpha > \frac{4}{3}\pi$ となる。これを満たす候補は $\gamma - \alpha = \frac{4}{3}\pi$ のみとなるが、このとき $\gamma - \beta = 0$ となり $\beta < \gamma$ に矛盾する。また、$\gamma - \beta \geqq \frac{2}{3}\pi$ を考慮すると $\gamma - \alpha \geqq 2\pi$ となり、範囲を満たさず不適である。

したがって、

$$ \beta - \alpha = \frac{2}{3}\pi $$

同様に、$\gamma - \beta = \frac{4}{3}\pi$ とすると、$\gamma - \alpha = \frac{4}{3}\pi + \frac{2}{3}\pi = 2\pi$ となり、$\gamma - \alpha < 2\pi$ に反するため不適である。よって、

$$ \gamma - \beta = \frac{2}{3}\pi $$

このとき、$\gamma - \alpha = (\gamma - \beta) + (\beta - \alpha) = \frac{4}{3}\pi$ となり、$\cos(\gamma - \alpha) = -\frac{1}{2}$ を満たす。

解法2

座標平面上に3点 $A(\cos \alpha, \sin \alpha), B(\cos \beta, \sin \beta), C(\cos \gamma, \sin \gamma)$ をとる。

これら3点の原点 $O$ からの位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ とすると、各点は単位円上にあるため、

$$ |\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1 $$

与えられた条件は、ベクトルの成分の和が $0$ であることを意味しているので、

$$ \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0} $$

$\vec{c}$ を移項すると、

$$ \vec{a} + \vec{b} = -\vec{c} $$

両辺の大きさを2乗する。

$$ |\vec{a} + \vec{b}|^2 = |-\vec{c}|^2 $$

$$ |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2 $$

$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$ を代入して整理すると、

$$ 1 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 1 = 1 $$

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{2} $$

ベクトルの内積の定義と、成分による内積の計算から、

$$ \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = -\frac{1}{2} $$

加法定理より、

$$ \cos(\beta - \alpha) = -\frac{1}{2} $$

同様の計算により、$\vec{b} \cdot \vec{c} = -\frac{1}{2}$ より $\cos(\gamma - \beta) = -\frac{1}{2}$ を得る。以降の角の範囲の吟味は、解法1と同様である。

解法3

複素数平面上の点として考える。 $z_1 = \cos \alpha + i \sin \alpha, z_2 = \cos \beta + i \sin \beta, z_3 = \cos \gamma + i \sin \gamma$ とおく。

これらは単位円周上の点であり、与えられた条件より、

$$ z_1 + z_2 + z_3 = 0 $$

が成り立つ。単位円周上にある3点の和が $0$ になる（すなわち、3点を頂点とする三角形の重心が原点に一致する）のは、これら3点が単位円に内接する正三角形をなすときに限られる。

偏角について $0 \leqq \alpha < \beta < \gamma < 2\pi$ であるから、単位円周上で点 $z_1, z_2, z_3$ はこの順に反時計回りに並んでいる。

したがって、正三角形の各頂点が原点となす角の大きさは $\frac{2}{3}\pi$ で等しいから、偏角の差はそれぞれ、

$$ \beta - \alpha = \frac{2}{3}\pi $$

$$ \gamma - \beta = \frac{2}{3}\pi $$

解説

本問は、三角関数の和の条件から角の差を求める典型的な問題だ。

解法1のように式変形（1つを移項して2乗の和をとる）で進めるのが基本の処理だが、求まった複数の候補から条件に合うものを絞り込む際の、角の範囲の吟味に注意が必要だ。

一方、解法2（ベクトル）や解法3（複素数平面）のように図形的な意味に翻訳すると、「単位円周上の3点の重心が原点である $\iff$ 3点は正三角形をなす」という有名事実を用いて、面倒な絞り込みを回避し、直感的に結論を出すことができる。実戦では図形的視点を持っておくと、見通しが良くなり計算ミスを防ぐことにもつながる。