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大阪大学 1998年理系第4問解説

方針・初手

図の対称性に着目し、直線 $PQ$ を基準とした座標系（またはベクトル）を導入する。点 $R, S$ と点 $R', S'$ が直線 $PQ$ に関して対称であることを利用すると、$AS^2$ と $AS'^2$ の差をとる際に多くの項が相殺され、計算が劇的に簡略化される。

解法1

点 $Q$ を原点 $(0,0)$ とし、半直線 $QP$ が $x$ 軸の正の向きと重なるように直交座標系を設定する。 $AP = a$, $PQ = b$ より、$P(b,0)$ である。問題の条件の対称性から、点 $R, S$ は $x$ 軸（直線 $PQ$）に関して点 $R', S'$ とそれぞれ対称な位置にあると解釈できる。

$A(x_A, y_A)$、$S(x_S, y_S)$ とおくと、$S'$ は $S$ と $x$ 軸対称であるから $S'(x_S, -y_S)$ と表せる。このとき、二点間の距離の公式より

$$ \begin{aligned} AS^2 - AS'^2 &= \left\{ (x_S - x_A)^2 + (y_S - y_A)^2 \right\} - \left\{ (x_S - x_A)^2 + (-y_S - y_A)^2 \right\} \\ &= (y_S - y_A)^2 - (y_S + y_A)^2 \\ &= -4y_A y_S \end{aligned} $$

となる。したがって、点 $A$ と点 $S$ の $y$ 座標のみを求めればよい。

$\angle APQ = \alpha$ であり、一般的な図の配置から点 $A$ の $y$ 座標を正とすると、$y_A = a\sin\alpha$ である。次に、$\angle RQP = \beta$ より、点 $R$ を第1・第2象限側にとると、その座標は $(c\cos\beta, c\sin\beta)$ となる。このとき、ベクトル $\overrightarrow{RQ}$ の $x$ 軸正の向きからの偏角は $\pi + \beta$ である。

$\angle SRQ = \alpha$ であり、折れ線が交差しない自然な配置を考慮すると、ベクトル $\overrightarrow{RS}$ は $\overrightarrow{RQ}$ から時計回りに $\alpha$ だけ回転した向きになる。すなわち、$\overrightarrow{RS}$ の偏角は $\pi + \beta - \alpha$ となる。これより、$\overrightarrow{RS}$ の $y$ 成分は

$$ d\sin(\pi + \beta - \alpha) = -d\sin(\beta - \alpha) $$

である。点 $S$ の $y$ 座標 $y_S$ は、点 $R$ の $y$ 座標に $\overrightarrow{RS}$ の $y$ 成分を加えたものであるから

$$ y_S = c\sin\beta - d\sin(\beta - \alpha) $$

となる。以上より、求める値は

$$ \begin{aligned} AS^2 - AS'^2 &= -4(a\sin\alpha)\{c\sin\beta - d\sin(\beta - \alpha)\} \\ &= 4a\sin\alpha\{d\sin(\beta - \alpha) - c\sin\beta\} \end{aligned} $$

解法2

ベクトルを用いて計算する。始点を $A$ とすると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AS} &= \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} + \overrightarrow{RS} \\ \overrightarrow{AS'} &= \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR'} + \overrightarrow{R'S'} \end{aligned} $$

と分解できる。ここで、$\vec{u} = \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{PQ}$、$\vec{v} = \overrightarrow{QR} + \overrightarrow{RS}$、$\vec{v'} = \overrightarrow{QR'} + \overrightarrow{R'S'}$ とおくと、

$$ \begin{aligned} AS^2 - AS'^2 &= |\vec{u} + \vec{v}|^2 - |\vec{u} + \vec{v'}|^2 \\ &= |\vec{v}|^2 - |\vec{v'}|^2 + 2\vec{u}\cdot(\vec{v} - \vec{v'}) \end{aligned} $$

となる。 $\angle SRQ = \alpha$ より、線分 $RQ$ と $RS$ のなす角が $\alpha$ であるから、ベクトル $\overrightarrow{QR}$ と $\overrightarrow{RS}$ のなす角は $\pi - \alpha$ である。したがって、内積 $\overrightarrow{QR}\cdot\overrightarrow{RS} = -cd\cos\alpha$ となり、

$$ |\vec{v}|^2 = |\overrightarrow{QR}|^2 + |\overrightarrow{RS}|^2 + 2\overrightarrow{QR}\cdot\overrightarrow{RS} = c^2 + d^2 - 2cd\cos\alpha $$

同様に $\angle S'R'Q = \alpha$ より $|\vec{v'}|^2 = c^2 + d^2 - 2cd\cos\alpha$ となるため、$|\vec{v}|^2 = |\vec{v'}|^2$ である。これより、

$$ AS^2 - AS'^2 = 2(\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{PQ}) \cdot (\overrightarrow{QR} - \overrightarrow{QR'} + \overrightarrow{RS} - \overrightarrow{R'S'}) $$

図の対称性から、点 $R, S$ と点 $R', S'$ は直線 $PQ$ に関して対称である。ゆえに、ベクトル $\overrightarrow{QR} - \overrightarrow{QR'}$ および $\overrightarrow{RS} - \overrightarrow{R'S'}$ はともに直線 $PQ$ と垂直である。したがって、$\overrightarrow{PQ} \cdot (\overrightarrow{QR} - \overrightarrow{QR'}) = 0$ および $\overrightarrow{PQ} \cdot (\overrightarrow{RS} - \overrightarrow{R'S'}) = 0$ が成り立つため、

$$ AS^2 - AS'^2 = 2\overrightarrow{AP}\cdot(\overrightarrow{QR} - \overrightarrow{QR'}) + 2\overrightarrow{AP}\cdot(\overrightarrow{RS} - \overrightarrow{R'S'}) $$

解法1と同様に直線 $PQ$ を $x$ 軸にとり $y$ 軸を設けると、各ベクトルの $x$ 成分が $0$ になるため、$y$ 成分のみが内積に寄与する。 $\overrightarrow{QR} - \overrightarrow{QR'}$ は $y$ 軸正の向きに大きさ $2c\sin\beta$ のベクトルであり、$\overrightarrow{RS} - \overrightarrow{R'S'}$ は $y$ 軸負の向きに大きさ $2d\sin(\beta-\alpha)$ のベクトルである。また、$\overrightarrow{PA}$ の $y$ 成分を $a\sin\alpha$ とすると、$\overrightarrow{AP}$ の $y$ 成分は $-a\sin\alpha$ である。各内積を計算すると、

$$ \begin{aligned} 2\overrightarrow{AP}\cdot(\overrightarrow{QR} - \overrightarrow{QR'}) &= 2(-a\sin\alpha)(2c\sin\beta) = -4ac\sin\alpha\sin\beta \\ 2\overrightarrow{AP}\cdot(\overrightarrow{RS} - \overrightarrow{R'S'}) &= 2(-a\sin\alpha)\{-2d\sin(\beta-\alpha)\} = 4ad\sin\alpha\sin(\beta-\alpha) \end{aligned} $$

これらを加えて、同様の結果を得る。

解説

図形上の長さを求める問題であるが、真正面から余弦定理などを複数回用いると式が極めて複雑になる。本問の最大のポイントは「図形の対称性」に気づくことである。直線 $PQ$ を対称軸（または座標軸）として捉えると、$S$ と $S'$ は軸対称な位置関係にあり、$y$ 座標の符号のみが異なることが分かる。これにより $AS^2 - AS'^2$ の展開式において $x$ 座標の成分や多くの距離成分が完全に相殺され、非常にシンプルな形に帰着できる。ベクトルを用いたアプローチでも、内積の性質と直交条件を利用することで、不要な項を論理的に一掃することが可能である。