京都大学 1977年 理系 第1問 解説

方針・初手

2次方程式

$$ x^2+x-1=0 $$

の2つの解を $a,b$ とする。まず解と係数の関係から

$$ a+b=-1,\qquad ab=-1 $$

を使う。

求める2次方程式の2つの根を $c,d$ とすると、ベクトル

$$ \mathbf{u}=(a,b),\qquad \mathbf{v}=(c,d) $$

について

$$ \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0,\qquad |\mathbf{v}|=1 $$

が成り立つ。直交条件から $\mathbf{v}$ を $\mathbf{u}$ に垂直なベクトルとして表し、$c+d$ と $cd$ を求めればよい。

解法1

解と係数の関係より

$$ a+b=-1,\qquad ab=-1 $$

である。したがって

$$ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(-1)^2-2(-1)=3 $$

となる。

ベクトル $(a,b)$ に垂直なベクトルは $(b,-a)$ に平行であるから、ある実数 $k$ を用いて

$$ (c,d)=k(b,-a) $$

と表せる。$|\mathbf{v}|=1$ より

$$ c^2+d^2=1 $$

である。よって

$$ k^2(b^2+a^2)=1 $$

となり、$a^2+b^2=3$ から

$$ k^2=\frac{1}{3} $$

である。したがって

$$ k=\pm\frac{1}{\sqrt{3}} $$

である。

よって $c,d$ は

$$ (c,d)=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}(b,-a) $$

の成分である。

このとき積は

$$ cd=\frac{b}{\sqrt{3}}\cdot\left(-\frac{a}{\sqrt{3}}\right) =-\frac{ab}{3} =\frac{1}{3} $$

である。

また和は

$$ c+d=\pm\frac{b-a}{\sqrt{3}} $$

である。ここで

$$ (a-b)^2=(a+b)^2-4ab=(-1)^2-4(-1)=5 $$

より、$b-a=\pm\sqrt{5}$ である。したがって

$$ c+d=\pm\sqrt{\frac{5}{3}} =\pm\frac{\sqrt{15}}{3} $$

である。

2つの根を $c,d$ とする2次方程式は

$$ t^2-(c+d)t+cd=0 $$

であるから、

$$ t^2 \mp \frac{\sqrt{15}}{3}t+\frac{1}{3}=0 $$

となる。両辺を $3$ 倍して、

$$ 3t^2\mp\sqrt{15}t+1=0 $$

を得る。

解説

この問題では、$a,b$ の値そのものを求める必要はない。解と係数の関係から $a+b,ab,a^2+b^2$ を求め、直交する単位ベクトルの形を使うのが最短である。

符号が2通り出るのは、$\mathbf{u}$ に垂直な単位ベクトルが互いに反対向きの2方向に存在するためである。

答え

$$ 3x^2+\sqrt{15}x+1=0 $$

および

$$ 3x^2-\sqrt{15}x+1=0 $$