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京都大学 1978年理系第3問解説

方針・初手

（i）弦 $AB$ を底辺とみたとき、$\triangle PAB$ の面積が最大となるのは、高さが最大となるときである。これは、点 $P$ における放物線の接線が、直線 $AB$ と平行になるときである。（ii）線分 $CD$ が直線 $x=p$ によって二等分されることは、線分 $CD$ の中点の $x$ 座標が $p$ と一致することと同値である。直線 $CD$ を文字でおき、放物線の式と連立して解と係数の関係を用いると見通しがよい。（iii）放物線と直線 $AB$ の交点の $x$ 座標を求め、直線 $x=p$ によって分割される左側の面積と右側の面積をそれぞれ定積分で計算し、等しいことを示す。

解法1

(i)

放物線 $y = 4 - x^2$ と直線 $y = 3x$ の交点 $A, B$ の $x$ 座標は、方程式

$$ 4 - x^2 = 3x $$

$$ x^2 + 3x - 4 = 0 $$

$$ (x+4)(x-1) = 0 $$

を解いて $x = -4, 1$ である。点 $P$ は放物線の弧の上を $x=-4$ から $x=1$ まで動く。直線 $AB$ を底辺とする $\triangle PAB$ の面積が最大となるのは、点 $P$ と直線 $AB$ の距離が最大となるとき、すなわち点 $P$ における放物線の接線が直線 $AB$ と平行になるときである。放物線の式 $y = 4 - x^2$ を微分すると $y' = -2x$ 接線の傾きが直線 $AB$ の傾き $3$ と等しくなるので、

$$ -2p = 3 $$

$$ p = -\frac{3}{2} $$

$p = -\frac{3}{2}$ は $-4 \leqq p \leqq 1$ を満たす。よって、$p = -\frac{3}{2}$ である。

(ii)

線分 $AB$ に平行な直線を $y = 3x + k$ とおく。この直線が放物線 $y = 4 - x^2$ と $2$ 点 $C, D$ で交わるとき、その $x$ 座標は方程式

$$ 4 - x^2 = 3x + k $$

$$ x^2 + 3x + k - 4 = 0 $$

の異なる $2$ つの実数解である。これらを $x_C, x_D$ とおく。解と係数の関係より、

$$ x_C + x_D = -3 $$

線分 $CD$ の中点の $x$ 座標は

$$ \frac{x_C + x_D}{2} = -\frac{3}{2} $$

これは（i）で求めた $p$ の値に等しい。中点の $x$ 座標が常に $p$ であるということは、線分 $CD$ の中点が直線 $x=p$ 上にあるということである。したがって、線分 $CD$ は直線 $x=p$ によって二等分されることが示された。

(iii)

放物線と線分 $AB$ によって囲まれる図形において、直線 $x = -\frac{3}{2}$ より左側の部分の面積を $S_1$、右側の部分の面積を $S_2$ とする。図形の上側の境界は放物線 $y = 4 - x^2$、下側の境界は直線 $y = 3x$ である。

$S_1$ を計算する。

$$ \begin{aligned} S_1 &= \int_{-4}^{-\frac{3}{2}} \{ (4 - x^2) - 3x \} dx \\ &= \int_{-4}^{-\frac{3}{2}} (-x^2 - 3x + 4) dx \\ &= \left[ -\frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 4x \right]_{-4}^{-\frac{3}{2}} \\ &= \left( \frac{9}{8} - \frac{27}{8} - 6 \right) - \left( \frac{64}{3} - 24 - 16 \right) \\ &= -\frac{33}{4} - \left( -\frac{56}{3} \right) \\ &= -\frac{99}{12} + \frac{224}{12} \\ &= \frac{125}{12} \end{aligned} $$

次に、$S_2$ を計算する。

$$ \begin{aligned} S_2 &= \int_{-\frac{3}{2}}^{1} \{ (4 - x^2) - 3x \} dx \\ &= \int_{-\frac{3}{2}}^{1} (-x^2 - 3x + 4) dx \\ &= \left[ -\frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 4x \right]_{-\frac{3}{2}}^{1} \\ &= \left( -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 4 \right) - \left( -\frac{33}{4} \right) \\ &= \frac{13}{6} + \frac{33}{4} \\ &= \frac{26}{12} + \frac{99}{12} \\ &= \frac{125}{12} \end{aligned} $$

$S_1 = S_2 = \frac{125}{12}$ であるから、放物線と線分 $AB$ によって囲まれる図形は、直線 $x=p$ によって互いに面積の等しい二つの部分に分けられることが示された。

解説

放物線の性質（アルキメデスの定理の背景にある性質）に関する標準的な問題である。放物線において、弦 $AB$ に平行な接線の接点 $P$ の $x$ 座標は、常に交点 $A, B$ の $x$ 座標の中点になるという有名な性質がある（本問では $\frac{-4+1}{2} = -\frac{3}{2}$）。また、（ii）は放物線の「任意の平行弦の中点は、その弦に平行な接線の接点を通り軸に平行な直線上にある（直系）」という性質の証明である。（iii）については、定積分を計算して示すのが最も確実である。カヴァリエリの原理などを想起させる問題構成だが、高校数学の範囲では立式して直接計算して示すのが定石である。