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京都大学 1981年理系第5問解説

方針・初手

おみくじを $k$ 回でやめる確率を正しく設定することが第一歩である。 $k \leqq N-1$ の場合は「$k-1$ 回目までハズレで、ちょうど $k$ 回目に当たる」確率となる。一方、$k=N$ の場合は「$N$ 回目の結果によらず $N$ 回で終了する」というルールのため、「$N-1$ 回目までハズレる」確率となる。この場合分けを間違えないようにしよう。期待値の定義に従って和の式を立てると、$\sum k r^{k-1}$ の形を含む級数になるため、等差数列×等比数列の和を求める定石「$S - rS$」の計算を用いる。

解法1

おみくじを引くのをやめるまでの回数を $X$ とする。 $X$ がとりうる値は $1, 2, \dots, N$ である。

$1 \leqq k \leqq N-1$ のとき、$X=k$ となるのは「$k-1$ 回目まで大吉が出ず、$k$ 回目に大吉が出る」場合である。その確率 $P(X=k)$ は、

$$ P(X=k) = (1-p)^{k-1} p $$

$X=N$ となるのは、ルールより「$N-1$ 回目まで大吉が出ない」場合である（$N$ 回目が大吉でも大吉でなくても $N$ 回で終了するため）。その確率 $P(X=N)$ は、

$$ P(X=N) = (1-p)^{N-1} $$

期待値 $E$ は、

$$ E = \sum_{k=1}^{N-1} k P(X=k) + N P(X=N) = \sum_{k=1}^{N-1} k(1-p)^{k-1} p + N(1-p)^{N-1} $$

ここで、$S = \sum_{k=1}^{N-1} k(1-p)^{k-1}$ とおく。

$$ S = 1 + 2(1-p) + 3(1-p)^2 + \cdots + (N-1)(1-p)^{N-2} $$

両辺に $(1-p)$ を掛けると、

$$ (1-p)S = (1-p) + 2(1-p)^2 + \cdots + (N-2)(1-p)^{N-2} + (N-1)(1-p)^{N-1} $$

辺々引くと、

$$ \begin{aligned} S - (1-p)S &= 1 + (1-p) + (1-p)^2 + \cdots + (1-p)^{N-2} - (N-1)(1-p)^{N-1} \\ pS &= \frac{1 - (1-p)^{N-1}}{1 - (1-p)} - (N-1)(1-p)^{N-1} \\ pS &= \frac{1 - (1-p)^{N-1}}{p} - (N-1)(1-p)^{N-1} \end{aligned} $$

したがって、期待値 $E$ は

$$ \begin{aligned} E &= pS + N(1-p)^{N-1} \\ &= \left\{ \frac{1 - (1-p)^{N-1}}{p} - (N-1)(1-p)^{N-1} \right\} + N(1-p)^{N-1} \\ &= \frac{1 - (1-p)^{N-1}}{p} + (1-p)^{N-1} \\ &= \frac{1 - (1-p)^{N-1} + p(1-p)^{N-1}}{p} \\ &= \frac{1 - (1-p)^{N-1}(1-p)}{p} \\ &= \frac{1 - (1-p)^N}{p} \end{aligned} $$

となり、示された。

次に、$p = \frac{1}{5} = 0.2, N=10$ のときの $E$ の値を求める。

$$ E = \frac{1 - (1 - 0.2)^{10}}{0.2} = 5(1 - 0.8^{10}) $$

ここで、$0.8^{10}$ を計算する。 $0.8^2 = 0.64$ $0.8^4 = 0.64^2 = 0.4096$ $0.8^5 = 0.4096 \times 0.8 = 0.32768$ $0.8^{10} = 0.32768^2 \approx 0.1073741824$ よって、

$$ E = 5 \times (1 - 0.1073741824) = 5 \times 0.8926258176 = 4.463129088 $$

小数第2位まで求めるため、小数第3位を四捨五入して $E = 4.46$ を得る。

解法2

期待値の性質を利用した別解を示す。非負の整数値をとる確率変数 $X$ について、その期待値は $E = \sum_{k=1}^\infty P(X \ge k)$ で計算できることが知られている。本問では $X$ は最大 $N$ であるから、$E = \sum_{k=1}^N P(X \ge k)$ となる。

事象 $X \ge k$ （すなわち $k$ 回以上おみくじを引く）は、「$k-1$ 回目まで一度も大吉が出ない」という事象と同値である。したがって、

$$ P(X \ge k) = (1-p)^{k-1} $$

よって期待値 $E$ は、初項 $1$、公比 $(1-p)$、項数 $N$ の等比数列の和として計算でき、

$$ E = \sum_{k=1}^N (1-p)^{k-1} = \frac{1 - (1-p)^N}{1 - (1-p)} = \frac{1 - (1-p)^N}{p} $$

となり、ただちに示される。

後半の計算は解法1と同様である。

解説

「等差数列×等比数列」の和を計算する定石問題であるが、途中で打ち切るルールがあるため、確率の立式でミスをしやすいところである。「$N$ 回目で終了する確率」が $P(X=N) = (1-p)^{N-1}p$ ではないことに注意が必要だ。

解法2で紹介した $E(X) = \sum P(X \ge k)$ という関係式は、難関大の確率問題で時折威力を発揮する強力なテクニック（生存関数からの期待値計算）である。和の計算が単なる等比数列の和に帰着するため、劇的に計算量を減らすことができる。余裕があれば知識として持っておくとよい。また、後半は純粋な小数計算の精度が問われる。計算ミスを防ぐため、$0.8^{10}$ を $(0.8^5)^2$ のように工夫して計算する要領の良さも必要である。