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京都大学 1993年理系第6問解説

方針・初手

行列の積を計算して恒等変換となることを示し、それらの関係式を利用して変換の対応関係を調べます。（1）は行列の計算により直接示します。（2）は (1) で得られた $f^2=i, g^2=i, (gf)^3=i$ を変形することで、前者の5つの変換の式を書き換えていきます。（3）は (2) の結果から、変換の種類が有限個に限られることに着目します。それぞれの変換による基本三角形の像を計算し、座標平面上に図示（描写）します。

解法1

(1)

変換 $f, g$ を表す行列をそれぞれ $F, G$ とし、恒等変換 $i$ を表す単位行列を $E$ とする。

$$ F^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) \\ 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 & 0 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E $$

$$ G^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1) \cdot (-1) + 0 \cdot 1 & (-1) \cdot 0 + 0 \cdot 1 \\ 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E $$

次に、$GF$ を計算する。

$$ GF = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

これより、$(GF)^2$ および $(GF)^3$ を計算する。

$$ (GF)^2 = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-1 & 1+0 \\ -1+0 & -1+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} $$

$$ (GF)^3 = (GF)^2 (GF) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+1 & 0+0 \\ 1-1 & 1+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E $$

以上より、$f^2 = g^2 = (gf)^3 = i$ が示された。

(2)

(1) の結果より、$gfgfgf = i$ である。また、$f^2 = i$ より右から $f$ を掛けると $f = f^{-1}$ であり、$g^2 = i$ より $g = g^{-1}$ である。 $gfgfgf = i$ の両辺に、右から次々と $f$ や $g$ を掛けて式を変形していく。

$gfgfgf = i$ の右から $f$ を掛けると、$gfgfgf^2 = f$ となり、$f^2 = i$ より

$$ gfgfg = f $$

を得る。これが後者の $gfgfg$ の対応である。

この式の右からさらに $g$ を掛けると、$gfgfg^2 = fg$ となり、$g^2 = i$ より

$$ gfgf = fg $$

を得る。

この式の右からさらに $f$ を掛けると、$gfgf^2 = fgf$ となり、$f^2 = i$ より

$$ gfg = fgf $$

を得る。

この式の右からさらに $g$ を掛けると、$gfg^2 = fgfg$ となり、$g^2 = i$ より

$$ gf = fgfg $$

を得る。

この式の右からさらに $f$ を掛けると、$gf^2 = fgfgf$ となり、$f^2 = i$ より

$$ g = fgfgf $$

を得る。

以上より、後者の5つの変換はそれぞれ前者の変換と次のように等しい。

$g$ は $fgfgf$ に等しい
$fg$ は $gfgf$ に等しい
$gfg$ は $fgf$ に等しい
$fgfg$ は $gf$ に等しい
$gfgfg$ は $f$ に等しい

(3)

(2) の結果から、$f$ と $g$ を用いて表されるすべての変換は、互いに異なる最大6つの変換 $i, f, g, fg, gf, fgf$ のいずれかに等しくなる（これらの集合は積について閉じており、有限群をなす）。したがって、$\Delta$ を $f, g$ で繰り返し変換して得られるすべての三角形は、この6つの変換によって $\Delta$ が移る像をすべて求めたものに等しい。

$\Delta$ の頂点の位置ベクトルを $\boldsymbol{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \boldsymbol{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \boldsymbol{q} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ とする。 1次変換により原点 $\boldsymbol{0}$ は常に原点に移るため、各変換による $\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}$ の像の座標を計算する。

（i）変換 $i$ （行列 $E$）

$\boldsymbol{p} \mapsto \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \boldsymbol{q} \mapsto \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ 得られる三角形は、$(0,0), (1,0), (0,1)$ を頂点とする三角形。

（ii）変換 $f$ （行列 $F = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$）

$\boldsymbol{p} \mapsto \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \boldsymbol{q} \mapsto \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ 得られる三角形は、$(0,0), (1,0), (1,-1)$ を頂点とする三角形。

（iii）変換 $g$ （行列 $G = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$）

$\boldsymbol{p} \mapsto \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \boldsymbol{q} \mapsto \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ 得られる三角形は、$(0,0), (-1,1), (0,1)$ を頂点とする三角形。

（iv）変換 $fg$ （行列 $FG = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$）

$\boldsymbol{p} \mapsto \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \boldsymbol{q} \mapsto \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ 得られる三角形は、$(0,0), (0,-1), (1,-1)$ を頂点とする三角形。

（v）変換 $gf$ （行列 $GF = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$）

$\boldsymbol{p} \mapsto \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \boldsymbol{q} \mapsto \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ 得られる三角形は、$(0,0), (-1,1), (-1,0)$ を頂点とする三角形。

（vi）変換 $fgf$ （行列 $FGF = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$）

$\boldsymbol{p} \mapsto \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \boldsymbol{q} \mapsto \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ 得られる三角形は、$(0,0), (0,-1), (-1,0)$ を頂点とする三角形。

以上6つの三角形は、原点を共通の頂点として持ち、隣り合う三角形同士が辺を共有して隙間なく重なりなく並ぶ。これらの和集合は、6つの点 $(1,0), (0,1), (-1,1), (-1,0), (0,-1), (1,-1)$ をこの順に結んでできる六角形の周および内部となる。

解説

行列によって定まる1次変換が有限の位数の群（この場合は位数6の二面体群あるいは対称群に同型）をなすことを背景とした問題です。（2）のように、与えられた関係式 $f^2=i, g^2=i, (gf)^3=i$ を用いてパズルのように式を短縮・変形する操作は、抽象代数学（群論）における「生成元と基本関係」の考え方そのものです。（3）では、得られたすべての変換が有限個であることを利用し、それぞれの変換行列を具体的に求めて図形を移動させます。すべての三角形が原点を中心としてきれいに張り合わされ、ひとつの六角形を形成するという美しい結果が得られます。