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京都大学 1995年理系第1問解説

方針・初手

点 $P$ の座標を変数でおき、$\overrightarrow{OQ}$ や $\overrightarrow{OR}$ の成分を求めて与えられた比を立式します。比の値は点 $P$ と原点 $O$ との距離（動径成分）が約分されるため、方向（角度成分）のみの関数となります。したがって、点 $P$ を極座標で表して三角関数の合成に持ち込むか、あるいはベクトルの二次形式と行列の固有値の関係を利用して最大値・最小値を求めるのが有効な方針です。

解法1

点 $P$ は原点 $O$ と一致しないので、極座標を用いて $P(r\cos\theta, r\sin\theta)$ （$r>0$、$0 \le \theta < 2\pi$）とおくことができる。点 $P$ の位置ベクトルは

$$ \overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} r\cos\theta \\ r\sin\theta \end{pmatrix} $$

行列 $\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}$ による点 $P$ の像 $Q$ の位置ベクトル $\overrightarrow{OQ}$ は

$$ \overrightarrow{OQ} = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r\cos\theta \\ r\sin\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ar\cos\theta + br\sin\theta \\ ar\sin\theta \end{pmatrix} = r \begin{pmatrix} a\cos\theta + b\sin\theta \\ a\sin\theta \end{pmatrix} $$

点 $R$ は点 $Q$ を通り $x$ 軸に垂直な直線と $x$ 軸との交点であるから、点 $R$ の $x$ 座標は点 $Q$ の $x$ 座標に等しく、$y$ 座標は $0$ である。

$$ \overrightarrow{OR} = r \begin{pmatrix} a\cos\theta + b\sin\theta \\ 0 \end{pmatrix} $$

条件1について

与えられた比を計算すると

$$ \frac{|\overrightarrow{OR}|}{|\overrightarrow{OP}|} = \frac{r |a\cos\theta + b\sin\theta|}{r} = |a\cos\theta + b\sin\theta| $$

コーシー・シュワルツの不等式、または三角関数の合成により、この値の最大値は $\sqrt{a^2+b^2}$ である。問題の条件よりこの最大値が $2$ であるから

$$ \sqrt{a^2+b^2} = 2 \iff a^2+b^2 = 4 \quad \cdots \text{①} $$

条件2について

次に $\overrightarrow{OQ}$ についての比の2乗を計算する。

$$ \begin{aligned} \frac{|\overrightarrow{OQ}|^2}{|\overrightarrow{OP}|^2} &= \frac{r^2 \{ (a\cos\theta + b\sin\theta)^2 + (a\sin\theta)^2 \}}{r^2} \\ &= (a\cos\theta + b\sin\theta)^2 + a^2\sin^2\theta \\ &= a^2\cos^2\theta + 2ab\cos\theta\sin\theta + (a^2+b^2)\sin^2\theta \end{aligned} $$

半角の公式および倍角の公式を用いて次数を下げる。

$$ \begin{aligned} \frac{|\overrightarrow{OQ}|^2}{|\overrightarrow{OP}|^2} &= a^2 \frac{1+\cos 2\theta}{2} + ab\sin 2\theta + (a^2+b^2) \frac{1-\cos 2\theta}{2} \\ &= \frac{2a^2+b^2}{2} + ab\sin 2\theta - \frac{b^2}{2}\cos 2\theta \end{aligned} $$

三角関数の合成を用いると、$\theta$ が変化するときの振幅は

$$ \sqrt{(ab)^2 + \left(-\frac{b^2}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2b^2 + \frac{b^4}{4}} = \frac{|b|}{2}\sqrt{4a^2+b^2} $$

したがって、$\frac{|\overrightarrow{OQ}|^2}{|\overrightarrow{OP}|^2}$ の最大値を $M^2$、最小値を $m^2$ とおくと

$$ M^2 = \frac{2a^2+b^2}{2} + \frac{|b|}{2}\sqrt{4a^2+b^2} $$

$$ m^2 = \frac{2a^2+b^2}{2} - \frac{|b|}{2}\sqrt{4a^2+b^2} $$

条件より $\frac{M}{m} = 3$ であるから、$M^2 = 9m^2$ が成り立つ。これを代入して整理する。

$$ \frac{2a^2+b^2}{2} + \frac{|b|}{2}\sqrt{4a^2+b^2} = 9 \left( \frac{2a^2+b^2}{2} - \frac{|b|}{2}\sqrt{4a^2+b^2} \right) $$

$$ 10 \cdot \frac{|b|}{2}\sqrt{4a^2+b^2} = 8 \cdot \frac{2a^2+b^2}{2} $$

$$ 5|b|\sqrt{4a^2+b^2} = 4(2a^2+b^2) $$

両辺を2乗して

$$ 25b^2(4a^2+b^2) = 16(2a^2+b^2)^2 $$

①より $b^2 = 4 - a^2$ を代入する。

$$ 25(4 - a^2)\{ 4a^2 + (4 - a^2) \} = 16\{ 2a^2 + (4 - a^2) \}^2 $$

$$ 25(4 - a^2)(3a^2 + 4) = 16(a^2 + 4)^2 $$

$$ 25(16 + 8a^2 - 3a^4) = 16(a^4 + 8a^2 + 16) $$

$$ 400 + 200a^2 - 75a^4 = 16a^4 + 128a^2 + 256 $$

$$ 91a^4 - 72a^2 - 144 = 0 $$

左辺を因数分解すると

$$ (7a^2 - 12)(13a^2 + 12) = 0 $$

$a$ は実数であるから $a^2 \ge 0$ より $13a^2 + 12 > 0$ である。したがって

$$ 7a^2 - 12 = 0 \iff a^2 = \frac{12}{7} $$

このとき、$b^2 = 4 - a^2 = \frac{16}{7} \ge 0$ も満たす。よって、$a, b$ の値は

$$ a = \pm \frac{2\sqrt{21}}{7}, \quad b = \pm \frac{4\sqrt{7}}{7} \quad \text{（複号任意）} $$

解法2

考える比は $P$ の動径に依存しないため、最初から点 $P$ を $x^2+y^2=1$ を満たす単位円上の点 $(x, y)$ と設定しても一般性を失わない。このとき、$|\overrightarrow{OP}|^2 = 1$ である。点 $Q, R$ の座標は解法1と同様に $Q(ax+by, ay)$、$R(ax+by, 0)$ となる。

条件1について

$$ |\overrightarrow{OR}|^2 = (ax+by)^2 $$

ベクトル $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ に対するコーシー・シュワルツの不等式より

$$ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) = a^2+b^2 $$

等号は $(x, y)$ が $(a, b)$ と平行な単位ベクトルのときに成立する。したがって、$\frac{|\overrightarrow{OR}|}{|\overrightarrow{OP}|}$ の最大値は $\sqrt{a^2+b^2}$ であり、これが $2$ であるから

$$ a^2+b^2 = 4 \quad \cdots \text{①} $$

条件2について

行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}$ 、単位ベクトル $\vec{p} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とおくと、$\overrightarrow{OQ} = A\vec{p}$ である。

$$ |\overrightarrow{OQ}|^2 = |A\vec{p}|^2 = (A\vec{p}) \cdot (A\vec{p}) = \vec{p}^T (A^T A) \vec{p} $$

ここで、実対称行列 $A^T A$ を計算すると

$$ A^T A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & ab \\ ab & a^2+b^2 \end{pmatrix} $$

単位ベクトル $\vec{p}$ を動かしたときの二次形式 $\vec{p}^T (A^T A) \vec{p}$ の最大値・最小値は、実対称行列 $A^T A$ の固有値に一致する。固有値を $\lambda$ とすると、固有方程式 $\det(A^T A - \lambda I) = 0$ より

$$ \det \begin{pmatrix} a^2-\lambda & ab \\ ab & a^2+b^2-\lambda \end{pmatrix} = 0 $$

$$ (a^2-\lambda)(a^2+b^2-\lambda) - (ab)^2 = 0 $$

$$ \lambda^2 - (2a^2+b^2)\lambda + a^4 = 0 $$

2つの固有値を $\lambda_1, \lambda_2$ （$\lambda_1 \ge \lambda_2$）とすると、解と係数の関係より

$$ \lambda_1 + \lambda_2 = 2a^2+b^2 \quad \cdots \text{②} $$

$$ \lambda_1 \lambda_2 = a^4 \quad \cdots \text{③} $$

条件より、$\frac{\sqrt{\lambda_1}}{\sqrt{\lambda_2}} = 3$ であるから $\lambda_1 = 9\lambda_2$ が成り立つ。これを②、③に代入して

$$ 10\lambda_2 = 2a^2+b^2 \iff \lambda_2 = \frac{2a^2+b^2}{10} $$

$$ 9\lambda_2^2 = a^4 $$

これらから $\lambda_2$ を消去すると

$$ 9 \left( \frac{2a^2+b^2}{10} \right)^2 = a^4 $$

$$ 9(2a^2+b^2)^2 = 100a^4 $$

両辺の平方根をとると、$2a^2+b^2 \ge 0$ であることに注意して

$$ 3(2a^2+b^2) = \pm 10a^2 $$

①より $b^2 = 4-a^2$ を代入する。

(i)

$3(2a^2+b^2) = 10a^2$ のとき

$$ 3(2a^2 + 4 - a^2) = 10a^2 $$

$$ 3a^2 + 12 = 10a^2 \iff 7a^2 = 12 \iff a^2 = \frac{12}{7} $$

このとき $b^2 = \frac{16}{7} \ge 0$ となり適する。

(ii)

$3(2a^2+b^2) = -10a^2$ のとき

$$ 3(a^2 + 4) = -10a^2 \iff 13a^2 = -12 $$

$a$ は実数であるから、これを満たす $a$ は存在せず不適。

以上より、$a^2 = \frac{12}{7}, b^2 = \frac{16}{7}$ であり

$$ a = \pm \frac{2\sqrt{21}}{7}, \quad b = \pm \frac{4\sqrt{7}}{7} \quad \text{（複号任意）} $$

解説

1次変換による像の長さの最大・最小を問う典型問題です。分母に $|\overrightarrow{OP}|$ があるため、大きさを固定して「方向のみ」に着目できるかが第一の関門です。解法1のように極座標パラメータ $\theta$ で表して三角関数の合成に持ち込む方針は、どのような問題でも通用する汎用性の高いアプローチですが、次数下げや2乗の計算など処理量が多くなりがちです。一方、解法2のように「ベクトルの二次形式の最大・最小は、対応する実対称行列の固有値に等しい」という大学数学（線形代数）の背景知識を持つと、大幅に計算の負担を減らすことができます。難関大学の1次変換や楕円の主軸問題を解くうえで非常に強力な武器となるため、余裕があれば解法2のアプローチも習得しておきましょう。