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東京大学 2001年理系第3問解説

方針・初手

まずは問題の指示通りに面積 $a(t)$ と $b(t)$ をそれぞれ $t$ の関数として具体的に求める。 $a(t)$ は原点を含む3点を頂点とする三角形の面積公式を用いて計算する。 $b(t)$ は線分 $OP, OQ$ および双曲線 $xy=1$ を境界とする領域の面積であるため、上下の境界線に注意しながら定積分で計算する。その後、$c(t) = \frac{b(t)}{a(t)}$ を立式し、微分して導関数の符号を調べる。

解法1

まず、$a(t)$ を求める。点 $P(1, 1), Q\left(t, \frac{1}{t}\right)$ に対して、$\triangle OPQ$ の面積 $a(t)$ は次のように計算できる。

$$ a(t) = \frac{1}{2} \left| 1 \cdot \frac{1}{t} - 1 \cdot t \right| = \frac{1}{2} \left| \frac{1}{t} - t \right| $$

$t > 1$ のとき $t > \frac{1}{t}$ であるから、絶対値を外して次を得る。

$$ a(t) = \frac{1}{2} \left( t - \frac{1}{t} \right) $$

次に、$b(t)$ を求める。点 $P, Q$ はともに双曲線 $y = \frac{1}{x}$ 上にある。線分 $OP$ の方程式は $y = x \ (0 \leqq x \leqq 1)$ であり、線分 $OQ$ の方程式は $y = \frac{1}{t^2}x \ (0 \leqq x \leqq t)$ である。面積 $b(t)$ の領域は、上側の境界が $0 \leqq x \leqq 1$ で $y = x$、$1 \leqq x \leqq t$ で $y = \frac{1}{x}$ となり、下側の境界が $0 \leqq x \leqq t$ で $y = \frac{1}{t^2}x$ となる図形である。したがって、$b(t)$ は次のように積分で表される。

$$ b(t) = \int_{0}^{1} \left( x - \frac{1}{t^2}x \right) dx + \int_{1}^{t} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{t^2}x \right) dx $$

これを計算する。

$$ \begin{aligned} b(t) &= \int_{0}^{1} x \, dx + \int_{1}^{t} \frac{1}{x} \, dx - \int_{0}^{t} \frac{1}{t^2}x \, dx \\ &= \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{1} + \left[ \log x \right]_{1}^{t} - \left[ \frac{1}{2t^2}x^2 \right]_{0}^{t} \\ &= \frac{1}{2} + \log t - \frac{1}{2t^2} \cdot t^2 \\ &= \frac{1}{2} + \log t - \frac{1}{2} \\ &= \log t \end{aligned} $$

これらより、関数 $c(t)$ は次のようになる。

$$ c(t) = \frac{b(t)}{a(t)} = \frac{\log t}{\frac{1}{2}\left(t - \frac{1}{t}\right)} = \frac{2\log t}{t - \frac{1}{t}} $$

$c(t)$ が $t > 1$ において単調減少することを示すために、導関数 $c'(t)$ を計算する。

$$ \begin{aligned} c'(t) &= \frac{\frac{2}{t}\left(t - \frac{1}{t}\right) - 2\log t \left(1 + \frac{1}{t^2}\right)}{\left(t - \frac{1}{t}\right)^2} \\ &= \frac{2 - \frac{2}{t^2} - 2\left(1 + \frac{1}{t^2}\right)\log t}{\left(t - \frac{1}{t}\right)^2} \\ &= \frac{2}{t^2\left(t - \frac{1}{t}\right)^2} \left\{ t^2 - 1 - (t^2 + 1)\log t \right\} \end{aligned} $$

分母は $t > 1$ において正であるため、分子の中括弧内の符号を調べる。 $f(t) = t^2 - 1 - (t^2 + 1)\log t$ とおく。

$$ \begin{aligned} f'(t) &= 2t - \left\{ 2t \log t + (t^2 + 1)\cdot \frac{1}{t} \right\} \\ &= 2t - 2t \log t - t - \frac{1}{t} \\ &= t - \frac{1}{t} - 2t \log t \end{aligned} $$

さらに微分する。

$$ \begin{aligned} f''(t) &= 1 + \frac{1}{t^2} - \left( 2\log t + 2t \cdot \frac{1}{t} \right) \\ &= \frac{1}{t^2} - 1 - 2\log t \end{aligned} $$

もう一度微分する。

$$ f'''(t) = -\frac{2}{t^3} - \frac{2}{t} = -\frac{2(1+t^2)}{t^3} $$

$t > 1$ において $f'''(t) < 0$ であるから、$f''(t)$ は $t > 1$ で単調に減少する。 $f''(1) = 1 - 1 - 0 = 0$ より、$t > 1$ において $f''(t) < 0$ である。

よって、$f'(t)$ は $t > 1$ で単調に減少する。 $f'(1) = 1 - 1 - 0 = 0$ より、$t > 1$ において $f'(t) < 0$ である。

よって、$f(t)$ は $t > 1$ で単調に減少する。 $f(1) = 1 - 1 - 0 = 0$ より、$t > 1$ において $f(t) < 0$ である。

以上より、$t > 1$ において $c'(t) < 0$ となるため、$c(t)$ はつねに減少する。

解法2

$c(t)$ の式を導出するまでは解法1と同様である。

$$ c(t) = \frac{2\log t}{t - \frac{1}{t}} $$

ここで、$t = e^s$ と置換する。 $t > 1$ のとき $s > 0$ であり、$t$ が増加するとき $s$ も単調に増加する。したがって、$F(s) = c(e^s)$ とおいたとき、$F(s)$ が $s > 0$ において単調減少することを示せばよい。

$$ F(s) = \frac{2\log e^s}{e^s - e^{-s}} = \frac{2s}{e^s - e^{-s}} $$

$F(s)$ を $s$ について微分する。

$$ \begin{aligned} F'(s) &= 2 \cdot \frac{1 \cdot (e^s - e^{-s}) - s(e^s + e^{-s})}{(e^s - e^{-s})^2} \\ &= \frac{2}{(e^s - e^{-s})^2} \left\{ e^s - e^{-s} - s(e^s + e^{-s}) \right\} \end{aligned} $$

分子の中括弧内を $h(s) = e^s - e^{-s} - s(e^s + e^{-s})$ とおく。

$$ \begin{aligned} h'(s) &= e^s + e^{-s} - \left\{ 1 \cdot (e^s + e^{-s}) + s(e^s - e^{-s}) \right\} \\ &= -s(e^s - e^{-s}) \end{aligned} $$

$s > 0$ において $e^s > 1 > e^{-s}$ であるから $e^s - e^{-s} > 0$ であり、これと $-s < 0$ より $h'(s) < 0$ となる。したがって、$h(s)$ は $s > 0$ で単調に減少する。 $h(0) = 1 - 1 - 0 = 0$ であるから、$s > 0$ において $h(s) < 0$ である。

これにより $F'(s) < 0$ となり、$F(s)$ は $s > 0$ で単調に減少する。ゆえに、$c(t)$ は $t > 1$ においてつねに減少する。

解説

2つの領域の面積を求めたのち、微分計算によって関数の増減を調べる微分積分の総合問題である。導関数の符号が一度の微分で判別できない場合は、符号に関わる部分を取り出してさらに微分を繰り返す手法が王道である。また、式中に $t$ と $\frac{1}{t}$、および $\log t$ が混在している場合、解法2のように $t=e^s$ と置換することで見通しよく計算を進められることが多い。双曲線関数に親しんでいると自然に思いつきやすい手法である。