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京都大学 1999年理系第3問解説

方針・初手

(1) は不等式の証明の基本に従い、（左辺）－（右辺）を計算して正になることを示します。与えられた大小関係を利用して因数分解の形に持ち込みます。

(2) は (1) の結果を利用する問題です。(1) の不等式は「大きい数同士、小さい数同士を組み合わせた方が、交差して組み合わせるより大きくなる」という性質（並べ替えの不等式）を表しています。これを用いて、まず和が最小となるのが $x_k = k$ の順に並んでいるときであることを示します。その後、$\frac{k^2}{k^2+1} = 1 - \frac{1}{k^2+1}$ と変形し、部分分数分解を利用した不等式評価によって目標の定数 $\frac{8}{5}$ を導き出します。

解法1

(1)

与えられた不等式の（左辺）－（右辺）を計算する。

$$ \left( \frac{b_1^2}{a_0^2 + 1} + \frac{a_1^2}{b_0^2 + 1} \right) - \left( \frac{a_1^2}{a_0^2 + 1} + \frac{b_1^2}{b_0^2 + 1} \right) = \frac{b_1^2 - a_1^2}{a_0^2 + 1} - \frac{b_1^2 - a_1^2}{b_0^2 + 1} $$

これを $(b_1^2 - a_1^2)$ でくくると、以下のようになる。

$$ (b_1^2 - a_1^2) \left( \frac{1}{a_0^2 + 1} - \frac{1}{b_0^2 + 1} \right) $$

ここで、$a_1, b_1$ は正の実数であり $a_1 < b_1$ を満たすので、$a_1^2 < b_1^2$ すなわち $b_1^2 - a_1^2 > 0$ である。また、$a_0, b_0$ は正の実数であり $a_0 < b_0$ を満たすので、$a_0^2 < b_0^2$ となり、$a_0^2 + 1 < b_0^2 + 1$ が成り立つ。したがって、$\frac{1}{a_0^2 + 1} > \frac{1}{b_0^2 + 1}$ すなわち $\frac{1}{a_0^2 + 1} - \frac{1}{b_0^2 + 1} > 0$ である。

ゆえに、

$$ (b_1^2 - a_1^2) \left( \frac{1}{a_0^2 + 1} - \frac{1}{b_0^2 + 1} \right) > 0 $$

となり、

$$ \frac{b_1^2}{a_0^2 + 1} + \frac{a_1^2}{b_0^2 + 1} > \frac{a_1^2}{a_0^2 + 1} + \frac{b_1^2}{b_0^2 + 1} $$

が成り立つことが示された。

(2)

$n$ 個の自然数 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ は互いに相異なり、$1 \leqq x_k \leqq n$ を満たすので、$\{x_k\}$ は $\{1, 2, \cdots, n\}$ の順列である。

ここで、和 $S = \sum_{k=1}^n \frac{x_k^2}{k^2 + 1}$ を考える。数列 $\{x_k\}$ において、もし $i < j$ かつ $x_i > x_j$ となる組 $(i, j)$ が存在したとする。このとき、(1) の結果において $a_0 = i, b_0 = j, a_1 = x_j, b_1 = x_i$ とおくと、これらは正の実数であり、$a_0 < b_0$ かつ $a_1 < b_1$ を満たす。したがって (1) より、

$$ \frac{x_i^2}{i^2 + 1} + \frac{x_j^2}{j^2 + 1} > \frac{x_j^2}{i^2 + 1} + \frac{x_i^2}{j^2 + 1} $$

が成り立つ。これは、$x_i$ と $x_j$ の値を入れ替えることで、和 $S$ が真に小さくなることを意味している。このような「大小が逆転している組」の入れ替えを繰り返すことで和は減少し続け、最終的に逆転がない状態、すなわち $x_k = k \ (1 \leqq k \leqq n)$ のときに和は最小となる。よって、任意の順列 $\{x_k\}$ に対して以下の不等式が成り立つ。

$$ \sum_{k=1}^n \frac{x_k^2}{k^2 + 1} \geqq \sum_{k=1}^n \frac{k^2}{k^2 + 1} $$

次に、この右辺の和を評価する。

$$ \sum_{k=1}^n \frac{k^2}{k^2 + 1} = \sum_{k=1}^n \frac{(k^2 + 1) - 1}{k^2 + 1} = \sum_{k=1}^n \left( 1 - \frac{1}{k^2 + 1} \right) = n - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2 + 1} $$

ここで、$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2 + 1}$ を上から評価する。 $k \geqq 2$ のとき、$k^2 + 1 > k^2 > k^2 - k = k(k-1)$ であるから、

$$ \frac{1}{k^2 + 1} < \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} $$

が成り立つ。これを用いると、$n \geqq 2$ のとき、

$$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2 + 1} = \frac{1}{1^2 + 1} + \sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2 + 1} < \frac{1}{2} + \sum_{k=2}^n \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right) $$

$$ = \frac{1}{2} + \left( 1 - \frac{1}{n} \right) = \frac{3}{2} - \frac{1}{n} < \frac{3}{2} $$

となる。（なお、$n=1$ のときも左辺は $\frac{1}{2}$ となり $\frac{1}{2} < \frac{3}{2}$ を満たす）

ゆえに、すべての自然数 $n$ に対して、

$$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2 + 1} < \frac{3}{2} $$

が成り立つので、

$$ \sum_{k=1}^n \frac{k^2}{k^2 + 1} = n - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2 + 1} > n - \frac{3}{2} $$

となる。ここで $\frac{3}{2} = \frac{15}{10} < \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$ であるから、

$$ \sum_{k=1}^n \frac{k^2}{k^2 + 1} > n - \frac{8}{5} $$

が示された。以上より、

$$ \sum_{k=1}^n \frac{x_k^2}{k^2 + 1} \geqq \sum_{k=1}^n \frac{k^2}{k^2 + 1} > n - \frac{8}{5} $$

となり、題意の不等式は成り立つ。

解説

(1) は「並べ替えの不等式」と呼ばれる有名な定理の特殊なケースを自力で証明させる誘導になっています。(2) では、この誘導に乗って「和が最小になるのはどのような配列のときか」を見抜くことが最初のステップです。

次のステップである $\sum \frac{k^2}{k^2+1}$ の評価では、分子の次数下げを行ってから $\sum \frac{1}{k^2+1}$ をいかに評価するかが問われます。$\frac{1}{k^2}$ などを和が計算できる形（望遠鏡和）で上から抑えるテクニックは、極限や不等式証明において非常に頻出なので、$\frac{1}{k^2} < \frac{1}{k(k-1)}$ という変形はいつでも引き出せるようにしておきましょう。定数 $\frac{8}{5} (= 1.6)$ は、$\frac{3}{2} (= 1.5)$ で評価できれば十分にお釣りがくるように設定された親切な数値です。