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大阪大学 1988年文系第2問解説

方針・初手

与えられた条件式 $x^3 + y^3 = 1$ は対称式であり、求める値 $x + y$ も対称式である。したがって、$x + y = u$、$xy = v$ とおき、$u$ と $v$ の関係式を導いたうえで、実数 $x, y$ が存在する条件（判別式）を利用する定石のアプローチが考えられる。

また、1文字消去して1変数の微分法に持ち込む方法や、相加・相乗平均の大小関係などの不等式を利用して評価する方法もある。

解法1

$x + y = u$、$xy = v$ とおく。

与えられた条件式 $x^3 + y^3 = 1$ を $u$ と $v$ で表すと、

$$ (x+y)^3 - 3xy(x+y) = 1 $$

$$ u^3 - 3uv = 1 $$

となる。ここで、$x \geqq 0, y \geqq 0$ より $u = x + y \geqq 0$ である。もし $u = 0$ とすると、$x = y = 0$ となり $x^3 + y^3 = 1$ を満たさない。ゆえに $u > 0$ である。

このとき、$u^3 - 3uv = 1$ より $v$ について解くと、

$$ v = \frac{u^3 - 1}{3u} $$

となる。

次に、$x, y$ は $t$ についての2次方程式 $t^2 - ut + v = 0$ の2つの実数解である。$x \geqq 0, y \geqq 0$ であるための条件は、この2次方程式が非負の実数解をもつことであるから、判別式を $D$ とすると、

$$ D = u^2 - 4v \geqq 0 $$

および、解と係数の関係より、

$$ x + y = u \geqq 0 $$

$$ xy = v \geqq 0 $$

を満たすことである。すでに $u > 0$ は確認したため、$v \geqq 0$ および $u^2 - 4v \geqq 0$ を $u$ について解けばよい。

まず $v \geqq 0$ について、

$$ \frac{u^3 - 1}{3u} \geqq 0 $$

$u > 0$ より分母は正であるから、$u^3 - 1 \geqq 0$ となり、$u \geqq 1$ を得る。

次に $u^2 - 4v \geqq 0$ について、

$$ u^2 - \frac{4(u^3 - 1)}{3u} \geqq 0 $$

$u > 0$ より両辺に $3u$ を掛けて整理すると、

$$ 3u^3 - 4(u^3 - 1) \geqq 0 $$

$$ -u^3 + 4 \geqq 0 $$

$$ u^3 \leqq 4 $$

$u$ は実数であるから、$u \leqq \sqrt[3]{4}$ を得る。

以上より、$u$ のとりうる値の範囲は $1 \leqq u \leqq \sqrt[3]{4}$ である。

解法2

$y$ について解いて1変数の関数として扱う。

$x \geqq 0, y \geqq 0$ かつ $x^3 + y^3 = 1$ より、$0 \leqq x \leqq 1$ であり、

$$ y = (1 - x^3)^{\frac{1}{3}} $$

と表せる。ここで、$x + y$ を $x$ の関数 $f(x)$ として定義する。

$$ f(x) = x + (1 - x^3)^{\frac{1}{3}} $$

$0 < x < 1$ において $f(x)$ を微分すると、

$$ \begin{aligned} f'(x) &= 1 + \frac{1}{3}(1 - x^3)^{-\frac{2}{3}} \cdot (-3x^2) \\ &= 1 - \frac{x^2}{(1 - x^3)^{\frac{2}{3}}} \end{aligned} $$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$$ \frac{x^2}{(1 - x^3)^{\frac{2}{3}}} = 1 $$

両辺は正であるから、両辺を3乗して、

$$ \frac{x^6}{(1 - x^3)^2} = 1 $$

$$ x^6 = (1 - x^3)^2 $$

$$ x^6 = 1 - 2x^3 + x^6 $$

$$ 2x^3 = 1 $$

$$ x^3 = \frac{1}{2} $$

$x$ は実数なので $x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ を得る。

このとき、$0 < x < 1$ を満たしている。$f(x)$ の増減表は以下のようになる。

$$ \begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \cdots & \frac{1}{\sqrt[3]{2}} & \cdots & 1 \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & 1 & \nearrow & \text{最大} & \searrow & 1 \end{array} $$

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ のとき、

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right) &= \frac{1}{\sqrt[3]{2}} + \left(1 - \frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}} \\ &= \frac{1}{\sqrt[3]{2}} + \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \\ &= \frac{2}{\sqrt[3]{2}} \\ &= 2^{1 - \frac{1}{3}} \\ &= 2^{\frac{2}{3}} \\ &= \sqrt[3]{4} \end{aligned} $$

また、端点において $f(0) = 1$, $f(1) = 1$ である。

したがって、$f(x)$ のとりうる値の範囲は $1 \leqq f(x) \leqq \sqrt[3]{4}$ となる。