京都大学 2006年 理系 第6問 解説

方針・初手

積分上限に変数が含まれる関数の最大・最小問題です。まずは微積分学の基本定理 $\dfrac{d}{d\theta}\displaystyle\int_0^\theta f(x)\,dx = f(\theta)$ を用いて $F(\theta)$ を $\theta$ で微分し、増減表をかいて最大値をとる $\theta$ の値を特定します。その後、$F(\theta)$ を部分積分法によって具体的に計算し、求めた $\theta$ の値を代入するという流れになります。$\theta$ の範囲に $\alpha$ がどう影響して $\cos(\theta+\alpha)$ の符号が変わるかに注意しましょう。

解法1

関数 $F(\theta) = \displaystyle\int_0^\theta x \cos(x+\alpha) \,dx$ を $\theta$ について微分すると、

$$ F'(\theta) = \theta \cos(\theta+\alpha) $$

$0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$ であり、$0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ の範囲では $\theta \geqq 0$ であるから、$F'(\theta)$ の符号は $\cos(\theta+\alpha)$ の符号で決まる。

$\theta+\alpha$ のとり得る範囲は $\alpha \leqq \theta+\alpha \leqq \dfrac{\pi}{2}+\alpha$。$0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$ より $\dfrac{\pi}{2} < \dfrac{\pi}{2}+\alpha < \pi$ であるから、この範囲で $\cos(\theta+\alpha) = 0$ となるのは

$$ \theta + \alpha = \frac{\pi}{2} \iff \theta = \frac{\pi}{2} - \alpha $$

のときのみである（この $\theta$ は $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$ を満たす）。

$F'(\theta)$ の符号変化：

• $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2} - \alpha$ のとき：$\cos(\theta+\alpha) > 0$ より $F'(\theta) > 0$
• $\dfrac{\pi}{2} - \alpha < \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ のとき：$\cos(\theta+\alpha) < 0$ より $F'(\theta) < 0$

したがって、$F(\theta)$ は $\theta = \dfrac{\pi}{2} - \alpha$ のとき最大値をとる。

次に、$F(\theta)$ を部分積分を用いて計算する。

$$ F(\theta) = \int_0^\theta x \{\sin(x+\alpha)\}' \,dx = \left[ x \sin(x+\alpha) \right]_0^\theta - \int_0^\theta \sin(x+\alpha) \,dx $$

$$ = \theta \sin(\theta+\alpha) + \left[ \cos(x+\alpha) \right]_0^\theta $$

$$ = \theta \sin(\theta+\alpha) + \cos(\theta+\alpha) - \cos\alpha $$

最大値は $F\!\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right)$ である。$\theta+\alpha = \dfrac{\pi}{2}$ のとき $\sin(\theta+\alpha) = 1$、$\cos(\theta+\alpha) = 0$ であるから、

$$ F\!\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \cdot 1 + 0 - \cos\alpha = \frac{\pi}{2} - \alpha - \cos\alpha $$

解説

「積分上限に変数が含まれる関数」の最大・最小を求める標準的な問題です。解法の基本ステップである「微分して増減を調べる」「積分を計算して代入する」を順番に実行するだけですが、角度の範囲 $\theta+\alpha$ に気をつけて、$\cos$ の符号がどこで切り替わるか（第一象限から第二象限へ移る境界である $\dfrac{\pi}{2}$）を正しく見極める必要があります。

部分積分の計算も $\alpha$ が混ざっているだけで $x\cos x$ の積分と全く同じです。計算ミスに気をつけて確実に得点したい問題です。

答え

$$ \frac{\pi}{2} - \alpha - \cos\alpha $$