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京都大学 2004年理系第1問解説

方針・初手

関数 $f(\theta)$ に含まれる角が $4\theta$ と $\theta$ のように異なっているため、まずは角を統一することを考える。半角の公式および2倍角の公式を用いて、全体を $\cos 2\theta$ の式で表すのが定石である。$\cos 2\theta = t$ と置き換え、変域に注意しながら $t$ の2次関数の最大・最小問題に帰着させる。

解法1

半角の公式より、

$$ -4\sin^2 \theta = -4 \left( \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \right) = -2 + 2\cos 2\theta $$

また、2倍角の公式より、

$$ \cos 4\theta = 2\cos^2 2\theta - 1 $$

である。したがって、$f(\theta)$ は次のように変形できる。

$$\begin{aligned} f(\theta) &= (2\cos^2 2\theta - 1) - 2 + 2\cos 2\theta \\ &= 2\cos^2 2\theta + 2\cos 2\theta - 3 \end{aligned}$$

ここで、$t = \cos 2\theta$ とおく。$\theta$ の変域が $0 \leqq \theta \leqq \dfrac{3\pi}{4}$ であるから、$2\theta$ の変域は

$$ 0 \leqq 2\theta \leqq \frac{3\pi}{2} $$

となる。この範囲において $t = \cos 2\theta$ のとりうる値の範囲は

$$ -1 \leqq t \leqq 1 $$

である。$f(\theta)$ を $t$ の関数とみて $g(t)$ とおくと、

$$\begin{aligned} g(t) &= 2t^2 + 2t - 3 \\ &= 2\left( t + \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{7}{2} \end{aligned}$$

となる。これは下に凸の放物線であり、軸は $t = -\dfrac{1}{2}$ である。

$t = -\dfrac{1}{2}$ のとき、最小値をとる。最小値は $g\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{7}{2}$ である。このとき、$\cos 2\theta = -\dfrac{1}{2}$ であり、$0 \leqq 2\theta \leqq \dfrac{3\pi}{2}$ より $2\theta = \dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{4\pi}{3}$ すなわち $\theta = \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3}$ である。

軸 $t = -\dfrac{1}{2}$ から最も遠い端点である $t = 1$ のとき、最大値をとる。最大値は $g(1) = 2 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 - 3 = 1$ である。このとき、$\cos 2\theta = 1$ であり、$0 \leqq 2\theta \leqq \dfrac{3\pi}{2}$ より $2\theta = 0$ すなわち $\theta = 0$ である。

（なお、$t = -1$ のときは $g(-1) = -3$ であり最大ではない。）

解説

三角関数の最大・最小問題の典型である。「角の統一」と「関数（サイン・コサイン）の統一」を同時に行うことがポイントとなる。本問では、$\sin^2 \theta$ の次数を下げつつ角を $2\theta$ に倍角化し、$\cos 4\theta$ を $2\theta$ の式に半角化（または2倍角）することで、全体を $\cos 2\theta$ の2次関数に帰着できる。

また、置き換えた文字 $t$ の変域を求める際に、$2\theta$ の範囲 $0 \leqq 2\theta \leqq \dfrac{3\pi}{2}$ から $-1 \leqq \cos 2\theta \leqq 1$ を正しく導出できるかが重要である。