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東京大学 2017年理系第1問解説

方針・初手

2倍角、3倍角の公式を用いて $f(\theta)$ を $\cos \theta$ の式で表す。
$x = \cos \theta$ と置き換えることで、$g(\theta)$ を $x$ の2次関数として捉える。
$0 < \theta < \pi$ に対応する $x$ のとり得る値の範囲に注意し、2次関数が開区間で最小値をもつ条件を考える。

解法1

(1)

$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ と $\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$ を $f(\theta)$ に代入し、$x = \cos \theta$ とおくと、

$$ f(\theta) = 4x^3 - 3x + a(2x^2 - 1) + bx $$

$$ = 4x^3 + 2ax^2 + (b-3)x - a $$

また、$f(0)$ は $\theta = 0$ のときの値であり、$x = \cos 0 = 1$ を代入して、

$$ f(0) = 4 \cdot 1^3 + 2a \cdot 1^2 + (b-3) \cdot 1 - a = a + b + 1 $$

したがって、

$$ f(\theta) - f(0) = 4x^3 + 2ax^2 + (b-3)x - a - (a + b + 1) $$

$$ = 4x^3 + 2ax^2 + (b-3)x - (2a + b + 1) $$

$g(\theta)$ の分母は $\cos \theta - 1 = x - 1$ である。 $f(\theta) - f(0)$ は $x=1$ を代入すると $0$ になるため、$x-1$ を因数にもつ。因数分解すると、

$$ f(\theta) - f(0) = (x - 1)\{4x^2 + 2(a+2)x + 2a + b + 1\} $$

となる。 $0 < \theta < \pi$ より $-1 < \cos \theta < 1$、すなわち $-1 < x < 1$ であり、$x - 1 \neq 0$ であるから、分母分子を $x-1$ で割ることができて、

$$ g(\theta) = \frac{f(\theta) - f(0)}{x - 1} $$

$$ = 4x^2 + 2(a+2)x + 2a + b + 1 $$

(2)

(1) より $g(\theta)$ は $x$ の2次関数として表される。これを $h(x)$ とおく。

$$ h(x) = 4x^2 + 2(a+2)x + 2a + b + 1 $$

定義域は $-1 < x < 1$ である。この開区間で $h(x)$ が最小値 $0$ をとる条件を求める。 $h(x)$ を平方完成すると、

$$ h(x) = 4\left(x + \frac{a+2}{4}\right)^2 - 4\left(\frac{a+2}{4}\right)^2 + 2a + b + 1 $$

$$ = 4\left(x + \frac{a+2}{4}\right)^2 - \frac{a^2+4a+4}{4} + \frac{8a + 4b + 4}{4} $$

$$ = 4\left(x + \frac{a+2}{4}\right)^2 - \frac{1}{4}a^2 + a + b $$

放物線 $y = h(x)$ は下に凸であり、軸は直線 $x = -\frac{a+2}{4}$、頂点の $y$ 座標は $b - \frac{1}{4}a^2 + a$ である。定義域 $-1 < x < 1$ は両端を含まないため、$h(x)$ が最小値をもつためには、頂点がこの区間内に存在しなければならない。さらに、その最小値が $0$ であることから、以下の2つの条件を同時に満たす必要がある。

（i）頂点の $x$ 座標が $-1 < x < 1$ の範囲にある

$$ -1 < -\frac{a+2}{4} < 1 $$

各辺に $-4$ を掛けて、

$$ -4 < a + 2 < 4 $$

$$ -6 < a < 2 $$

（ii）頂点の $y$ 座標が $0$ である

$$ b - \frac{1}{4}a^2 + a = 0 $$

よって、

$$ b = \frac{1}{4}a^2 - a $$

以上より、求める条件は

$$ -6 < a < 2 \quad \text{かつ} \quad b = \frac{1}{4}a^2 - a $$

である。

次に、この条件をみたす点 $(a, b)$ が描く図形について考える。曲線 $b = \frac{1}{4}a^2 - a$ は、

$$ b = \frac{1}{4}(a - 2)^2 - 1 $$

と変形できるため、頂点 $(2, -1)$ で下に凸の放物線の一部である。端点の座標を調べると、

$a = -6$ のとき $b = \frac{1}{4}(-8)^2 - 1 = 15$

$a = 2$ のとき $b = -1$

したがって、求める図形は点 $(-6, 15)$ と点 $(2, -1)$ を結ぶ放物線上の弧（両端を含まない）となる。

解説

三角関数の多項式への変換は、入試における頻出テーマである。加法定理から導かれる2倍角・3倍角の公式を正確に覚えておく必要がある。
$\theta \to x$ の置換を行った際は、定義域の変換を必ずセットで行う。本問では $0 < \theta < \pi$ が $-1 < x < 1$ となる。
2次関数が開区間で最小値をもつためには、区間内に頂点がなくてはならない。もし頂点が区間外にあれば、関数は単調減少または単調増加となり、開区間においては「最小値は存在しない（下限はあるが最小値を持たない）」という扱いになる点に注意する。