京都大学 2003年 理系 第4問 解説

方針・初手

$x^2 + x + 1 = 0$ の虚数解の1つを $\omega$ とおき、剰余の定理を利用します。多項式が $x^2 + x + 1$ で割り切れるかどうかは、この多項式に $\omega$ を代入した値が $0$ になるかどうかを調べることで判定できます。計算の際は $\omega^3 = 1$ と $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ を使って次数を下げていきます。

解法1

$P(x) = (x^{100} + 1)^{100} + (x^2 + 1)^{100} + 1$ とおく。$P(x)$ を $x^2 + x + 1$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $ax + b$（$a, b$ は実数）とおくと

$$ P(x) = (x^2 + x + 1)Q(x) + ax + b $$

$x^2 + x + 1 = 0$ の虚数解の1つを $\omega$ とする。$\omega^3 = 1$ かつ $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ が成り立つ。$x = \omega$ を代入すると

$$ P(\omega) = a\omega + b \quad \cdots \text{①} $$

一方、$100 = 3 \times 33 + 1$ より $\omega^{100} = \omega$ である。$\omega + 1 = -\omega^2$、$\omega^2 + 1 = -\omega$ を用いて

$$\begin{aligned} P(\omega) &= (\omega + 1)^{100} + (\omega^2 + 1)^{100} + 1 \\ &= (-\omega^2)^{100} + (-\omega)^{100} + 1 \\ &= \omega^{200} + \omega^{100} + 1 \end{aligned}$$

$200 = 3 \times 66 + 2$ より $\omega^{200} = \omega^2$ であるから

$$ P(\omega) = \omega^2 + \omega + 1 = 0 \quad \cdots \text{②} $$

①、②より $a\omega + b = 0$。$a, b$ は実数で $\omega$ は虚数であるから

$$ a = 0 \quad \text{かつ} \quad b = 0 $$

すなわち余りが $0$ であり、$P(x)$ は $x^2 + x + 1$ で割り切れる。

解説

「$x^2+x+1$ で割った余り」というテーマは、$x^3=1$ の虚数解 $\omega$ の性質を利用する頻出の定石問題です。一見次数が大きい式でも、$\omega^3 = 1$ で次数を下げ、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ で式を整理することで、必ず簡潔な形に帰着します。

答え

割り切れる。