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京都大学 2006年理系第2問解説

方針・初手

線分と線分が交点を持つ条件を、ベクトルを用いて数式化します。交点を $Q$ とおき、「$Q$ が線分 $OP$ 上にある条件」と「$Q$ が線分 $AB$ 上にある条件」をそれぞれ媒介変数を用いて立式し、それらが同時かつ媒介変数の範囲を満たす解を持つことを示します。

解法1

線分 $OP$ と線分 $AB$ が交点 $Q$ を持つとする。

$Q$ は線分 $OP$ 上にあるから、実数 $k$（$0 \leqq k \leqq 1$）を用いて

$$ \overrightarrow{OQ} = k \overrightarrow{OP} $$

と表せる。また、$Q$ は線分 $AB$ 上にあるから、実数 $s$（$0 \leqq s \leqq 1$）を用いて

$$ \overrightarrow{OQ} = (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{OB} $$

と表せる。これらより、

$$ k \overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{OB} $$

成分で表すと、

$$ k \begin{pmatrix} 5+t \\ 9+2t \\ 5+3t \end{pmatrix} = (1-s) \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} $$

各成分を比較して以下の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} k(5+t) = 2s & \cdots \text{①} \\ k(9+2t) = 1 + 2s & \cdots \text{②} \\ k(5+3t) = 2 - 2s & \cdots \text{③} \end{cases} $$

①を②に代入して $2s$ を消去すると、

$$ k(9+2t) = 1 + k(5+t) $$

$$ k(4+t) = 1 \quad \cdots \text{④} $$

また、①を③に代入して $2s$ を消去すると、

$$ k(5+3t) = 2 - k(5+t) $$

$$ k(5+2t) = 1 \quad \cdots \text{⑤} $$

④、⑤より、

$$ k(4+t) = k(5+2t) \implies k(-1-t) = 0 $$

ここで、$k=0$ とすると④が $0=1$ となり矛盾するため $k \neq 0$ である。したがって、

$$ -1-t = 0 \iff t = -1 $$

$t = -1$ のとき、④より

$$ k(4-1) = 1 \iff k = \frac{1}{3} $$

これは $0 \leqq k \leqq 1$ を満たす。このとき①より

$$ \frac{1}{3}(5-1) = 2s \iff s = \frac{2}{3} $$

これも $0 \leqq s \leqq 1$ を満たす。

以上より、$0 \leqq k \leqq 1$ かつ $0 \leqq s \leqq 1$ を満たす実数 $k, s$ と、実数 $t=-1$ が存在することが示された。すなわち、線分 $OP$ と線分 $AB$ が交点を持つような実数 $t$ は存在する。

このとき、交点 $Q$ の座標は、

$$ \overrightarrow{OQ} = \frac{1}{3} \overrightarrow{OP} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{4}{3} \\[6pt] \dfrac{7}{3} \\[6pt] \dfrac{2}{3} \end{pmatrix} $$

となる。